《几何原本》命题2.9【夸克欧氏几何】
命题2.9：
如过先将一条线段等分，又将其分成不相等的两段，那么两条不等线段上的正方形之和，等于原线段一半上的正方形与两个分点之间一段上的正方形之和的二倍
求证：S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
解：
过点C作CE⊥AB
（命题1.11）
在CE上截CE=AC
（命题1.3）
连接AE，BE
（公设1.1）
过点D作DF∥CE，与BE交点记为点F
（命题1.31）
过点F作FG∥AB
（命题1.31）
连接AF
（公设1.1）
证：
∵CE=AC
（已知）
∴∠EAC=∠AEC
（命题1.5）
∵CE⊥AB
（已知）
∴∟ACE，∟ECB是直角
（定义1.10）
∵△ACE中，∠EAC+∠AEC+∟ACE=两直角
（命题1.32）
∴∠EAC+∠AEC=一个直角
（公理1.3）
∴∠EAC=∠AEC=半个直角
（公理1.3）
同理可证∠BEC=∠B=半个直角
∴∟AEB是直角
（公理1.2）
∵FG∥AB
（已知）
∴∠EGF=∟ECB
（命题1.29）
∵∠BEC=半个直角
（已证）
∴∠EFG=半个直角
（命题1.32）
∴∠EFG=∠BEC
（公理1.1）
∴GE=GF
（命题1.6）
∵DF∥CE
（已知）
∴∠BDF=∟ECB
（命题1.29）
∵∠B=半个直角
（已证）
∴∠BFD=半个直角
（命题1.32）
∴∠BFD=∠B
（公理1.1）
∴BD=DF
（命题1.6）
∵AC=CE
（已知）
∴S正方形AC2=S正方形CE2
（公理1.1）
∴S正方形AC2+S正方形CE2=2S正方形AC2
（公理1.2）
∵Rt△ACE中，S正方形AC2+S正方形CE2=S正方形AE2
（命题1.47）
∴S正方形AE2=2S正方形AC2
（公理1.1）
∵GE=GF
（已证）
∴S正方形GE2=S正方形GF2
（公理1.1）
∴S正方形GE2+S正方形GF2=2S正方形GF2
（公理1.2）
∵Rt△EFG中，S正方形GE2+S正方形GF2=S正方形EF2
（命题1.47）
∴S正方形EF2=2S正方形GF2
（公理1.1）
∵GF=CD
（命题1.34）
∴S正方形EF2=2S正方形CD2
（公理1.1）
∵S正方形AE2=2S正方形AC2
（已证）
∴S正方形AE2+S正方形EF2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.2）
∵Rt△ADF中，S正方形AD2+S正方形DF2=S正方形AF2
Rt△AEF中，S正方形AE2+S正方形EF2=S正方形AF2
（命题1.47）
∴S正方形AD2+S正方形DF2=S正方形AE2+S正方形EF2
（公理1.1）
∴S正方形AD2+S正方形DF2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
∵BD=DF
（已证）
∴S正方形AD2+S正方形BD2=2S正方形AC2+2S正方形CD2
（公理1.1）
证毕
此命题在本卷中未被使用
