Householder矩阵计算公式的简单推导

Householder矩阵计算公式的简单推导的记录，如果我忘记了就可以再看一下这个记录...

如果对任何人有帮助就再好不过了，如果其中有错误，请一定要告诉我，谢谢啦！ 

Householder矩阵的几何意义是将向量按照一个平面镜像。

如果有一个Householder矩阵  和一个向量 ，那么 使用矩阵变换此向量，也就是

这样可以得到镜像后的向量 

如下图所示

看书上提到Householder矩阵的计算公式是

其中是归一化的平面法向量，若按照上图的说明，就有

下面是对此公式的简单推导：

如下图所示，可以看出向量  和它的镜像之间相差2倍的投影长度，此投影长度是向量  对向量  的投影的长度。

所以有

带入向量对向量的投影公式  ，可得

向量也可以被看作是长或宽为1的矩阵，向量点积是也可化成矩阵乘积的形式，也就是

带入上式可得

由于  和  都代表常数，可整理得

虽然矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律，所以有

其中，。

至此，若不要求平面法向量归一化，上述公式已经推导完毕了。

如果要得到关于归一化法向量的公式，也就是有  ，其中向量  是归一化的法向量，有 。

带入上式可以得到，

其中  就是镜像变换矩阵Householder矩阵。