一个灯罩引发的问题

大家好啊，前些日子奔波忙碌，整理整理家具，发现厨房灯罩也能成像，看着还很漂亮！

    一个灯泡发出的光经过玻璃灯罩作用，在下面又形成了一个灯泡的像，为什么会在那里成像呢？这个是实像还是虚像？所成像的大小跟光源有什么关系呢？灯泡虽然美丽，但蕴含着很多奥秘。

    一点点分析吧，首先灯罩是均匀的，它的横截面应该都是圆，而且是同心圆，所有横截面的圆心组成一条直线，那就是中心轴，如果用通过中心轴的平面去截灯罩空间，会得到椭圆或者圆形，因为其他不会这样成像，而且这两种图形比较规则，制作也方便，如果过中心轴的截面是圆形，那么灯罩空间应该是球体的，如果截面是椭圆，那么灯罩空间是旋转椭圆体，也称之为椭球体。

    由于是旋转体，每个纵截面都具有相同的性质，所以所成的像也是截面上像的旋转体。我们分情况讨论

当截面是半径为r的圆时：

    这里圆的方程为x²+y²=r²，设光源A的坐标为(0,c)，若在左下方观测，如图，一条光线为

经过x轴与圆的交点，根据圆的对称性，可知反射光线为

在中心轴上的截距为-c 。设另一条光线为y=c，与圆的交点为

可根据该点计算此时法线的斜率，这里法线就是圆心与交点的连线，因为该交点上的切线与法线垂直，设入射角为θ，如图，反射光线的斜率是tan2θ，有

根据点斜式求出反射光线方程为

当x=0时

不等于-c，反射光线不在中心轴上汇聚，讨论光源A的位置，发现当

时，有

    在观测方向对面偏上一些的位置汇聚，但如果你再找一条其他光线会发现点光源的反射光线并未汇聚到同一点上，所以不会有清晰可见的成像。

    但在圆心的点光源经过圆面反射作用光线依然通过圆心，如果在中心轴上存在一个物体，可以自行脑补一下观测的效果。此时大概会有倒立缩小些且发散又略微波光粼粼的像，还有些扭曲，具体要看所有反射光线分布情况了，当然这与观测位置和物距也有关系。总之跟看到的结果不同，怎样才能形成前面图片中的效果呢？那就应该是椭球体了。

当截面是椭圆时：

    这里椭圆的方程为

其中0<b<a

    设光源A的坐标为(0,c)，由于椭圆的对称性，同理从A点发出的经过点B(b,0)的光反射后通过另一个焦点C(0,-c)，在第一象限内，若果光源点A的其他光线与椭圆交点为(x,y)，那么

点(x,y)到点(0,c)所确定的直线斜率为

根据导函数可求得交点(x,y)处切线的斜率为

如图，设交点处入射角的余角为θ，那么有

同理，点(x,y)到点(0,-c)所确定的直线斜率为

设通过交点(x,y)与焦点(0,-c)的光线与法线夹角的余角为α，那么有

    两个余角相等，无论交点(x,y)在第一象限什么位置，只要在椭圆上就会有同样的性质，说明从焦点出发的光线经椭圆面作用，反射光线将通过另一焦点。当然，由于椭圆具有对称性，点(x,y)也可以拓展到任意象限上。

    完美收工，这就是椭圆的光学性质了，所以那灯罩空间应该是椭球体的，将灯泡放在椭球的一个几何焦点上，将在另一个焦点上成像，当然都是实际光线汇聚的，应该是实像。

    但问题也来了，理论是点光源，而成像却是整体光源，由于椭球的作用，不能保证其他点的光都会反射到对应点上，那些延长线通过焦点的光都满足同样性质，有些光的确是反射跑了，像前面球体一样，因此所成的像不如光源那么亮，这也是所成像看着比较小的原因。

    没想到一个灯罩引发这么多问题，早知如此复杂就不逛家具商场了。现在都明白原理没？了解一些我就没白忙活啊。