『高中数学/解析几何』关于上一篇专栏评论区的其他算法
如果你还没有看过上一篇专栏，建议先补齐上一篇再继续阅读
传送门：
在上一篇专栏中，我们使用初中的方法探讨了过圆外一点作该圆的两条切线，这两条切线的斜率与点的坐标，圆的方程中各系数的关系
有很多人在评论区给出了自己的解法（虽然好像没几个是初中水平可以推导的💦）
那么这一篇专栏则是对评论区中我认为可行的方法进行求解
不论如何，对于平面内一圆及圆外一点
C:(x-a)²+(y-b)²=r²
K(u,v)
我们还是为了降低计算量，将圆平移至原点处，同时将点也进行平移工作，以保证两条切线的斜率不变，那么平移后圆与点变为：
C':x²+y²=r²(r≥0)
K'(u-a,v-b)
同样的，为了减少计算量，我们令
m=u-a,n=v-b
于是有K'(m,n)
（注：以下讨论的均为|m|≠r的情况）
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第一种解法由@xx-xxl给出
预备知识：点到直线的距离公式
首先，利用点斜式设出直线解析式
y=k(x-m)+n
将其改写为一般的直线方程
-kx+y+(km-n)=0
由于该直线与圆相切，故圆心到此直线的距离为r，根据点到直线的距离公式，我们有：
既
两边同时平方去掉绝对值，变形得到：
k²m²-2kmn+n²=k²r²+r²
整理为关于k的一元二次方程：
(m²-r²)k²+(-2mn)k+(n²-r²)=0
对k求解得到：
正如我所回复的，这个方法对于熟悉点到直线距离公式的人来说十分简单，要是计算能力稍强一点的，在五分钟内即可得出答案
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第二种解法由@只打人机的孩子给出
（在正式求解前说一句，此方法对二次函数的切线求解来说较为简易，但是对于圆来说计算量过大，并且计算难度高，不建议使用）
预备知识：圆的参数方程、隐函数求导、反三角函数、三角函数恒等变换
由这条评论容易想出这种解法：
设切点S(p,q)（p²+q²=r²)，则由隐函数求导可知，过点S的切线斜率为-p/q
而过S和K'两点的直线斜率为(q-n)/(p-m)
让二者相等，通过化简后可以得到这样一个等式：
mp+nq=r²
进行到这步后，似乎可以用q=√(r²-p²)进行换元，但由于p,q正负的不确定性，我们无法进行换元的工作（至少我做不下去了）
这时我们可以使用另一种方法，使得表示位置的变量的数量降为1，那就是引入圆的参数方程
众所周知，圆心位于原点，半径为r的圆的参数方程为：
x=r·cost
y=r·sint
其中t为参数
通过这个方法，设切点坐标为（rcosa,rsina)，我们可以得到这样一个等式：
化简得到：
mcosa+nsina-r=0
对于学过三角恒等变换的读者，看到这里应该都知道要干什么了吧
没错！我们可以用三角变换，将原式化为形如
Asin(ωx+φ)+B=0
的形式，此时再利用反三角函数即可求出a
我们令T=√(m²+n²)，tan(o)=m/n
这时原式变为：
Tsin(a+o)-r=0
于是我们可以得到：
（注：此解当且仅当n≥0时正确）
那另一个切点呢？
我们知道，这两个切点一定关于直线y=(n/m)x对称（如图）
又因为对于关于直线l₀对称的两条直线l₁,l₂，三者与x轴正方向的夹角α₀，α₁，α₂有如下关系：
α₁+α₂=2α₀
于是可以得到另一个切点与x轴的夹角b为：
（同样的，当且仅当n≥0时正确）
那么当n<0的情况呢？
当n<0时，我们可以看作是n>0的情况进行上下反转，故此时a、b的值是当n>0时的值的相反数，于是我们可以得到a'与b'为：
这里tan⁻¹(m/n)没有改变符号的原因是：
由于n改变了符号，导致tan⁻¹（m/n)的符号也发生了改变，因此连续两次变号使得tan⁻¹(m/n)的符号重新变回来的负号
而在b'中，π的符号为正的原因则是由于三角函数的周期性，使得在-π的基础上加上2π也不会影响b'的各个三角函数值
最后，在知道了两切点所对应的弧度后，计算这两个角的-cot值即可得出切线斜率，这里不过多阐述（反正算出来和上面的k值是一样的）
不论如何，能从不同角度思考问题总是好的。在我看来，数学靠的就是兴趣和好奇心（不然我也就水写不出这几篇专栏）
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文章中第二种解法所用图表：
https://www.desmos.com/calculator/p7p7tfione?lang=zh-CN
