聊聊布劳威尔定理

       这个暑假，我拜读了数学科普经典《什么是数学》，这是一本非常精彩的著作，使我受益匪浅。今天我们就来聊聊其中一个有趣的拓扑学定理——布劳威尔不动点定理。

       顾名思义，它是荷兰数学家布劳威尔于1910年证明的定理，和许多著名拓扑学定理一样，布劳威尔定理有着通俗易懂的形式:将平面上任意一个圆盘（包括圆的边界）进行连续变换，且变换后的图形仍包含于原圆内，则至少有一点变换后与变换前的原点重合。

       这个定理中的圆可以被替代成诸如长方形，三角形乃至任意与圆拓扑等价的几何图形(甚至可以扩展至三维球或正方体乃至更一般的情形)，他有一个有趣的实例——“地图定理”:将北京地图(或任意无飞地的地图)放在北京市地面上，则至少有一点，使得地图与中现实中的点重合(哪怕地图不按照比例尺绘制而任意扭曲也可以！)。

       需要注意的是，这里的变换必须是连续的，即如果把圆想象成一团圆形橡皮泥，它可以任意揉搓变形，但不能粘连(如两端相接变成一个圆环形)或损破(中间破一个洞)。否则布劳维尔定理不一定成立。

      乍一看，这一定理似乎很“直观清晰”，然而其严格证明却很困难。这里我们将给出一个“简单”的非严格证明（选自《什么是数学》）。

      我们运用反证法，假设定理不成立，即任意一点P都被映到与之相异的一点P'，于是我们可以取P到P'的向量表示在图上。

      让我们考虑圆边界上的点与与之相连的向量，所有的向量都指向圆内(因为映射是到自身的。)从边界某点P1开始，按逆时针方向沿这个圆走，此时，向量的方向将连续地改变，而当点沿着圆从P1又走回P1时，向量也转回到它原来的位置。我们把向量旋转一整周的次数称为圆上这些向量的指标，确切的说，是把指标定义为这些向量的角的变化的代数和，顺时针旋转取负值，逆时针取负值，结果正负相抵。很明显，指标一定是整数，即向量旋转角度必定为360°的整数倍。

       我们将证明，圆周上一圈的指标为1，即箭头方向总变化恰好相当于正旋转一周。由于圆上任意一点P的变换向量总是指向圆的内部而绝不会沿着切线方向，如果变换向量转过总角度不同于切向量的变化总角度（它是360°，因为切向量恰好绕圆一周），则这两者的差一定是360°的某个倍数，也就是说，在从P1到P1一圈的过程中，变换向量至少要绕切线旋转一周，而且由于切线和变换向量是连续转动的，所以圆周上至少有一点，使得切线和变换向量指向相同的方向，但由上知这是不可能的。

       我们进而考虑任意一个与圆同圆心，而且包含在圆内中的圆，那么这个圆上的变换向量的指标也必须是1，这是因为当我们连续的从圆周到达任何一个同心圆时，指标必须连续的变化，因为变换向量的方向在圆上是连续变化的，但指标只能取整数值，因此必须永远等于原来的值1。(一个连续变化的量，如果只能取整数，它必须是个常量，否则会导致跳跃的不连续性)因而对任意小的同心圆，向量的指标均为1，但这是荒谬的，因为根据变换的连续性，在一个充分小圆上的向量的方向近似于在圆心的向量方向，也就是说，可以让他们的角度变化任意小。从而使得整数指标取0。矛盾证出因而最初假设错误，定理证明完毕。

        讽刺的是，本定理的发现者布劳威尔是信奉秉持直觉主义的数学家，他是反对反证法的，然而我们这个定理的证明却正好用的反证法！

       像这样通俗但证明复杂的定理在拓扑学中例子有很多，如若当曲线定理、毛球定理、火腿三明治定理、博苏克–乌拉尔定理等等等等，它们都是拓扑学的典型定理。

        本定理是不动点定理中非常重要的一个，不动点定理可以证明数学上的许多存在性定理。尽管这些定理看似与几何无关，延伸阅读中的博苏克–乌拉尔定理的应用就是一个好例子。

        拓扑学与传统几何不同，不关注长度、角度等度量性质，而是关注所谓“拓扑性质”，如面、点、线等几何元素的位置和数量关系（著名的欧拉公式就是一例），这个定理就是对此一个很好的诠释。

延伸阅读：Bv1Zx411T7ri(毛球定理)

                    Bv1Jt411s7qs (博苏克–乌拉尔定理                                   及其在离散数学上的应用)

最后推荐大家阅读《什么是数学》这本经典作品，希望大家能喜欢。

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