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第三章 微分中值定理与导数的应用

第六节 函数图形的描绘

步骤——

1. 确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)；

2. 求出一阶导数f'(x)和二阶导数f"(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点及f'(x)和f"(x)不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；

3. 确定在这些部分区间内f'(x)和f"(x)的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；

4. 确定函数图形的水平，铅直渐近线以及其他变化趋势；

5. 算出f'(x)和f"(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点；为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y=f(x)的图形。

第七节 曲率

一、弧微分

概念——

• 弧：设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数，在曲线y=f(x)上取固定点M0(x0,y0)作为度量弧长的基点，并规定依x增大的方向作为曲线的正向，对曲线上任一点M(x,y)，规定M0到M的有向线段的值s（简称为弧s）如下：

  s的绝对值等于这弧段的长度，当有向线段M0到M的的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0——弧s与x存在函数关系：s=s(x)，而且s(x)是x的单调增加函数。

• 弧微分公式：

二、曲率及其计算公式

概念——

• 平均曲率：弧段MM'的长度为|Δs|，当动点从M移动到M'时切线转过的角度为|Δα|，我们用比值|Δα/Δs|，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MM'的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM'的平均曲率。

• 曲率：平均曲线在Δs→0时（即M'→M时），上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即
  

三、曲率圆与曲率半径

概念——

• 曲率圆：设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K≠0)，在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使|DM|=1/K=ρ，以D为圆心，ρ为半径作圆，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆。

• 曲率中心：曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心。

• 曲率半径：曲率圆的半径ρ叫做曲线在点M处的曲率半径。

关系——

1. 曲线在点M处的曲率K(K≠0)与曲线在点M处的曲率半径ρ有如下关系，ρ=1/K，K=1/ρ；

2. 含义：曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。

四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线

概念——

• 渐屈线：当点(x,f(x))沿曲线C移动时，相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线；

• 渐伸线：曲线C称为曲线G的渐伸线。