傅里叶变换||数学物理方法

//其实傅里叶级数在3Blue1Brown的视频里面已经有比较详细的介绍，但为了保证文集的完整性，这一篇笔记还是发表出来。

5.1 傅里叶级数

没有周期函数：

取三角函数族：

则该三角函数族正交：该函数族的任意两不同函数在一周期的积分为0.

将展开为级数：

则根据函数族的正交性，有

从而可以求出. 

特别地，

可以证明，这里的三角函数族是完备的：

连续，，

满足上式，称上述三角函数族完备，上式称为完备性方程，称级数平均收敛于.

狄里希利定理：若函数在每一周期内除有限个第一类间断点外处处连续，且只有有限个极值点，则前述傅里叶级数收敛，且在间断点有

什么收敛发散，严格处理起来真的好麻烦...作为物理人，我们只关心：能用就行...

对于奇函数，傅里叶级数只有正弦项；偶函数则只有余弦项。

傅里叶级数有复数形式。

关于函数族的讨论，与前面类似。本来复指数和三角函数的本质就是一样的。

在我的教材里面，求系数的公式是

但是我比较习惯的形式是

本质上是一样的。

5.2 傅里叶积分与傅里叶变换

定义在的函数如果不是周期性的，就不能展开为傅里叶级数，但可以考虑它是周期为的函数令的结果。

令，则有

其中，

若，则变为连续参量，以上各式取极限即

上式称为傅里叶积分，而（*）式称为的傅里叶变换式。

利用辅助角公式，上式还可以写成：

为振幅谱，为相位谱。

以上只是形式结果，严谨的数学理论有：

当分类讨论的奇偶性时，甚至可以反复横跳：

傅里叶积分有复数形式。

可以写为对称形式：

并简记为：

称为原函数，称为像函数。

傅里叶变换具有如下基本性质：

其中称为函数的卷积。

关于这一系列的定理，可能主要是卷积不太好懂...后面找个机会专门研究一下卷积...

多重傅里叶积分：

对于n维情况，引入矢量则可以有

这里因为微分、积分运算都是线性的，就可以简单推广。矢量（好像）就是我们平时见到的波矢。

5.3  函数

函数是一种广义函数，用于描述质点、点电荷、瞬时冲量等理想模型，其定义如下：

,

函数是偶函数，其原函数是阶跃函数：

它还有被称为“挑选性”的性质：对任意定义在的连续函数,

其实对于函数我的另一种理解是：它是一种概率密度函数，描述的是随机变量x必为0的情况(所以其实根本不随机)。显然它满足归一化，且所有非0的值取到的概率都为0.

所以这个挑选性就很好理解了：求的期望，而必为，那么结果就很显然是了。

函数的傅里叶变换？

（这一段看得有一点点懵，改日再补上）

参考文献

[1] 梁昆淼. 数学物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，69~82.