高考 乙卷 题11. 解析
据
cos∠F1NF2=3/5
有
sin∠F1NF2=4/5
设
∠NF1F2=θ
∠NF2F1=φ
图1.
有
e=1/sinθ=4/5/(sinθ-sinφ)
即
sinφ=1/5sinθ
且
sinθcosφ+cosθsinφ=4/5
即
sinθ√(25-sin²θ)/5-√(1-sin²θ）sinθ/5
=4/5
即
√(25e²-1)-√(e²-1)=4e²
设
√(25e²-1)=m
√(e²-1)=n
有
m²-n²=6(m-n)
即
m+n=6
且
m-n＝4e²
即
√(25e²-1)=2e²+3
即
25e²-1=4e^4+12e²+9
即
4e^4-13e²+10=0
即
e²=2(舍) 或 e²=5/2
即
e＝√5/2
图2.
有
e=1/sinθ=4/5/(sinφ-sinθ)
即
sinφ=9/5sinθ
且
sinθcosφ+cosθsinφ=4/5
即
-sinθ√(25-81sin²θ)/5
+9√(1-sin²θ）sinθ/5
=4/5
即
-√(25e²-81)+9√(e²-1)=4e²
设
√(25e²-81)=m
9√(e²-1)=n
有
n²-m²=14(n-m)
即
n+m=14
且
n-m＝4e²
即
9√(e²-1)=2e²+7
即
81e²-81=4e^4+28e²+49
即
4e^4-53e²+130=0
即
e²=10(舍) 或 e²=13/4
即
e＝√13/2
综
e=√5/2
或
e=√13/2
