傅立叶变换前后的能量守恒问题

在通信系统的仿真中，我们经常需要根据给定的信噪比(SNR: Signal Noise Ratio)，为传输的数据加上"加性高斯白噪声（Additive Guassian White Noise）"。但是，传输前的数据，很多时候考虑的是频域的相位，给定的待传输的数据需要经过傅立叶反变换到时域，在时域增加噪声，然后送给接收模块做性能评估。
（录制的视频：https://www.bilibili.com/video/BV1kP411V7hq/）
问题在于：无论是 Matlab 上，还是 Python 的 numpy 库中，快速傅立叶变换和反变换，在变换的前后，都没有保持能量守恒，这为定量地增加噪声制造了一点小困难。本文试图通过简单的 QPSK 为例子，频域分成 64 个频点，经过 ifft （快速傅立叶反变换）变到时域，然后定量地分析能量的变化情况.

频域有 64 个频点，我们在第二个频点上发送一个信号，幅度为 1，相位为 ，这个信号可以表示为 . 按照直观的理解，我们发送的信号是：

可以展开为：

可以很容易地看到，实部的最大值是 1.  那么上面这个信号的功率，就是其模的平方，可以很容易看到，模的平方就是 1， 则其功率是 1.

我们来看一下用 ifft 之后的结果，64 个频点上只有第二个频点上有信号，其它频点上没有信

号，即是 0：

总计 64 个.

用下面的 python 代码来做 ifft：

画出来的图形如下：

可以看到，幅度的最大值不是 1，程序中打印出来的最大值为 0.015625 ! 为什么呢？我们来观察一下 ifft 的公式：

其中 $N$ 是傅立叶反变换的长度。这个例子中，N=64.

在这个例子中，由于只有 ,其它都是 0，上面公式中的求和项，就退化为之后 k=1参与了运算：

公式 2 与 公式 1 比较，则可以看到，公式二 多了一个  ，从图中也可以看到，最高幅值是 .



讨论到这里，似乎问题已经解决了，但是，仔细看看， ifft 变换后幅度变为原来设想的 64 分之一，那能量在转换前和转换后，是否保持一致呢？我们需要的是保持一致。



我们先从频域看，64 个频域信号的总能量，是每个频率点上能量的和，即：，这个能量是在一个 fft 对应的时间上的，即 64 个采样点内的。则换算成功率，在频域看到的功率为 :

我们只分析一个频点，k=1，在频域看，其能量为 1，这是 k=1这个频率在一个fft对应时间内的能量。

 现在看matlab 和 python numpy 库中 ifft 的变换公式：

那么，k=1 对应的波形是:

那么，我们在 64个样点内计算一下能量：

可以看到，频域的能量是 1，而时域的能量是 ，能量相差了 64 倍！

所以， ifft 变换，会导致能量降为转换前的 64 分之一。同理，可以证明， fft 变换，会导致能量放大为变换前的64倍。

如果我们把傅立叶变换对的公式，稍微改变一下放大或者缩小的倍数，则可以保证转换前后的能量保持一致，即能量守恒：

FFT 变换：

IFFT 变换

使用上面修改过的公式，则可以保证能量前后保持一致。

有时候，我们不仅关心能量保持一致，还要关心这个信号的能量大小，例如我们为了加入一定信噪比 SNR 的高斯白噪声，需要知道信号的功率大小。

注意：后面讨论的能量大小，功率大小，都是基于修改后的傅立叶变换的公式，即保证变换前后能量保持一致的。

在频域看，一个频率点的信号，假设其能量为 1 （一般情况下，例如 QPSK 调制，都是保持能量为 1 的），因为傅立叶反变换后，对应到 N 个采样点的时间，因此，其功率为： .
 
在时域看，其对应的波形为 ：

其能量为（注意：为了与频域保持一致，要注意求和的时间范围是 N 个采样点）：

其功率则为 .



那么，如果在频域上，只有一个频率点上有信号，且频域  等于 1，则信号的功率就是 , 则可以根据 SNR 的公式，计算出来需要的噪声的功率。如果 N 个频点上，都有信号，且频域  等于 1，则其功率就是 1.


总结一下：本文的核心，是提醒注意用标准库中的 FFT/IFFT 函数时，存在能量在变换前后不守恒的问题。



延伸阅读：

    把傅立叶变换和反变换，看成是线性空间的向量，在坐标轴上的坐标，坐标轴就是线性空间的基，这些基的要求，除了要求任何两个不相同的基之间是正交的，还需要每个基向量的长度为1.

    傅立叶变换中的   构成一个合格的基向量，而 不是一个基向量，因为其长度是 .

我们来看一下傅里叶变换中基里面的各个向量（按照正确的方式来列举的）：

第一个向量：

k=0

第二个向量：

k=1

第三个向量：

k=2

。。。。



第 k+1 个向量：

k=k

.....



第 N 个向量：

k=N-1

每个基的模长都为 1：

如果用 matlab 中 傅立叶变换的公式，一个向量是：

则其模长为 N:

这就不是单位向量了。

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