一个有关分级火箭的问题（重制版）

一个有关分级火箭的问题（重制版）

问题：

有一个总质量为M的N级火箭，现在，要利用它发射一颗质量为P的卫星。已知初始时火箭与卫星均静止，发射过程中推力极大，重力可以忽略。设第i（i为不大于N的正整数）级火箭质量为mi，其中燃料质量为αmi (0<α<1)。已知燃料燃烧后，无质量亏损地全部向火箭后方喷出，喷出时相对火箭的速率为u（u为已知常量）；第i级火箭中的燃料耗尽后，它立即无相对速度地脱离火箭，并且第(i+1)级火箭立即被启动。试求：当第N级火箭脱离卫星后，卫星的速度u0最大为多少？此时mi取何值？

 

解答：

当第i级火箭工作时，有：

在以上算式中，v为某时刻卫星速度，mi’为该时刻第i级火箭质量，

将等式两边积分可得：

式中，vi为第i级火箭工作完毕后的速度。由上式易知：

由题意：

由于u为常数，所以要想得到u0的最大值，必须得到等式右边表达式的最大值。但等式右边的表达式极其复杂，不易求得它的最大值。

为了解答这个复杂的问题，我们不妨先讨论几种简单情况，探究这个表达式的规律，然后尝试用数学归纳法来证明找到的规律的正确性，继而得出结论。

当N=1时，毫无疑问，必有：

当N=2时：

两边分别对m2求导：

令

可得：

由于0< m2<M，所以有：

从而易得：

当N=3时，由于有且仅有三个变量，所以我们先把m3看做常量，求出极大值关于m3的函数u0= u0 (m3)，再将m3视为变量，得到最终的最大值。

利用N=2时的结论，将结论式中的P写成(P+ m3)，M写成(m1+ m2)：

考虑到M= m1+ m2+ m3，所以有：

等式两边对m3求导，并令

可以得到：

继而可得：

由上述讨论，我们可以猜测，对N级火箭而言，若想让卫星最终速度最大，应有：

下用数学归纳法证明此结论。

设对任意不大于k的N，此结论成立，那么当N=k+1时，必有：

等式两边对mk+1求导，并令

得：

当i不大于k时：

此时，u0的表达式为：

证毕。

所以，最终结论为：