【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep16】数字革命：有尽到无尽——殊途同归

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上期我们聊到了，“无尽小数”的定义：

9用无尽小数来表示实数

既然要达到用“无尽小数”表示实数的目的，自然地，就先得对“无尽小数”下一个定义。

（注：我们知道任何一个“十进小数”都分为“整数部分”和“小数部分”，而真正在这个定义的验证的重点是“小数部分”，因为“整数部分”总可以用一个确定的整数（正，0，负）来表示，小数部分的情形则比较复杂。

以我们都知道的根号2为例，我们可以知道它小数部分的前有限位，哪怕1亿亿亿亿位，但是我们无法给定它小数部分的全部——于是如何通过一个对象的局部去推断整体，就成为了数学中间一个重要的命题，即“分析学”的核心目的。）

书中首先给出了关于“十进小数”的一个简要说明：

接着我们从一个“构造过程”得到了“无尽小数”的精确定义：

关于这个构造具体的阐释见Ep15——

类似于“无理数”的感性认知是“数轴上点对应的不是有理数的数”——更朴素的“无尽小数”的定义仅仅是“不是整数，且，不是有尽小数的数”，我们以此为出发点，结合“十进小数”的定义，导出了“无尽小数”。

接着我们验证了，“整数”或者“有尽小数”也有“无尽小数”的表示法——

这样，所有的实数就都可以统一在“无尽小数”这一个形式之下，也就得到了实数的另一个定义——“无尽小数”。

注：本着“消歧义性”的原则，往往任何一本教材会给定，选择哪一种“无尽小数”形式来表示“有尽小数”或者“整数”，这样就实现了，每一个实数对应的“无尽小数”是唯一的。

自此，我们证明了，任给一个实数，都能找到“无尽小数”与之对应，今天我们继续来看反过来是否成立。——任给一个“无尽小数”，总能找到一个实数与之对应——即总能找到一个“有理数分划”与之对应。

对于任意无尽小数C.c1c2……cn……：

1.我们如果把第n位之后的“小尾巴”丢掉——得到一“有尽小数”C.c1c2……cn，显然C.c1c2……cn<C.c1c2……cn…….<C.c1c2……（cn+1），左边这个数，就称为“无尽小数”C.c1c2……cn……的“n位不足近似”,右边这个数，就称为“无尽小数”C.c1c2……cn……的“n位过剩近似”;

2.我们将所有小于C.c1c2……cn……的一切的“n位不足近似”组成一个集合，我们将所有大于C.c1c2……cn……的一切的“n位过剩近似”组成一个集合，就构造了一个“有理数分划”，其界数为“无尽小数”C.c1c2……cn……。

即任取无尽小数，都有唯一实数与其对应。