数学实现信号分析[3]: 傅里叶变换

*** 图文无关 ***             才发现标题名字打错了

我是真的不知道拿什么当封面了.............

在第二篇补充中, 我提到了

我们记    |a+bj| = sqrt(a^2+b^2), 即上图线段的长度       arg(a+bj)为上图线段与实数轴的夹角 那么观察容易得出:    An=2*|cn|,    φn=|arg(cn)|

cn是一个与频率nw0相关的一个系数, 且 |cn|与频率强度An相关, 而|arg(cn)|与相位φn相关, 于是我们称|cn|为振幅或震动强度, arg(cn)为相位

以第一章的函数为例子

我们可以画出  频率nw0 - 振幅|cn|  的图像:

这个图像就叫做 频图  或 频幅图,  同理, 频率和相位arg(cn)可以画出相似的图形, 称为 相位图

傅里叶级数有一个缺陷, 就是它只能处理周期函数, 为了使它可以处理非周期函数, 我们先来观察一下傅里叶级数的计算式子:

这里使用fT(t)是为了强调它是一个周期为T的函数

非周期函数就是指没有重复周期的函数, 那么我们可以把它理解为 周期为+∞的周期函数

有了这个想法之后, 我们就可以着手把傅里叶级数进行改进  (运用定积分的定义 [期待一下不存在的附章吧])

在改进后, fT(t)变为非周期函数f(t),  cn中的频率 nw0 (即n/T), 由离散的nw0变为连续的频率ω, 则我们可以记改进后的cn为一个新函数 f̂(ω) 或 f_hat(ω) (才发现我一直把频率ω打成w)

注: 这里可能和其他数学书上看到的不一样, 一般在物理中t<0的部分是没有意义的, 所以f̂(ω)的积分范围为0到+∞

这两条式子告诉我们, 只要知道了一个随时间变化的东西 (比如声音, 无线电波, 电子模拟信号), 我们就可以使用下面的式子把不同频率的组成部分完全分离出来, 分离了有什么用呢? 我们得到了频率, 就可以对频率进行分析或者修改, 修改完成后, 再使用第一条式子把频率转换成原本的东西,       实际应用就有变声器和无线电波监听器等等了

我们称第二条式子为傅里叶变换(Fourier transform, 简称FT), 而第一条式子为傅里叶逆向变换(iFT), 同理, |f̂(ω)| 为 频图, arg(f̂(ω)) 为 相位图,  特殊地有: |f̂(ω)|^2 为 能量分布图

这里我略过了很多细节, 而且不够生动形象,  不过大家了解了傅里叶变换是提取信号f(t)的频率就可以了

比较生动形象地看到傅里叶变换:

(至今3b1b微分方程的第四章还没烤完    = = )

传统傅里叶变换就这样讲完了,  接下来分开了两条路线:  离散傅里叶变换(DFT) 和 窗口傅里叶变换(WFT),   这两个都要讲到的

DFT的话就开始讲算法(python), 而WFT就继续讲数学,   大家想要看哪个呢, 没有没人发表意见的话就DFT的了

*** 在开始讲DFT之前可能要专门做一篇专栏教大家怎么用python进行编程, emmmmmm ***