复旦大学谢启鸿高等代数每周一题[2021A13]参考解答

2021-12-16 20:22 作者:CharlesMa0606 0人读过 | 我要投稿

本文是本人给出的2021年复旦大学谢启鸿高等代数的每周一题[问题2021A13]的解答

题目来自于复旦大学谢启鸿教授在他的博客提供的每周一题练习

（链接：https://www.cnblogs.com/torsor/p/15329047.html）

本文仅供学习交流，如有错误恳请指正！

[问题2021A13]设V,U分别是数域K上的n,m维线性空间, $%5Cvarphi%3AV%5Crightarrow%20U$ 是线性映射.证明:

(1)存在K上的线性空间W，满线性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ,以及单线性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di%5Ccirc%5Cxi$ ;

(2)若另外存在K上的线性空间 $W_1$ ，满线性映射 $%5Cxi_1%3AV%5Crightarrow%20W_1$ ，以及单线性映射 $i_1%3AW_1%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di_1%5Ccirc%5Cxi_1$ ，则存在线性同构 $%5Ceta%3AW%5Crightarrow%20W_1$ ，使得 $%5Cxi_1%3D%5Ceta%5Ccirc%5Cxi%2Ci%3Di_1%5Ccirc%5Ceta$ .

证明(1)设 $dimIm%5Cvarphi%3Dr$ ,任取一个K上线性空间W，取 $Ker%5Cvarphi$ 的一组基 $%5C%7Be_%7Br%2B1%7D%2C%5Ccdots%2Ce_n%5C%7D$ ，扩张为V基 $%5C%7Be_1%2C%5Ccdots%2Ce_n%5C%7D$ ,取U的一组基 $%5C%7Bf_1%2C%5Ccdots%2Cf_m%5C%7D$ .注意到要找单线性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，于是应当有 $dimW%3DdimIm%5Cvarphi%3Dr$ ，W存在性仍然不言而喻.取W基 $%5C%7Bg_1%2C%5Ccdots%2Cg_r%5C%7D$ .定义满线性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ，使得: $%5Cxi%5Cleft(e_i%5Cright)%3Dg_i%2C%5Cxi%5Cleft(e_j%5Cright)%3D0%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，这是一个定义好的满线性映射.再定义单线性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得: $i%5Cleft(g_k%5Cright)%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_k%5Cright)%2C1%5Cle%20k%5Cle%20r$ ，注意到 $%5Cvarphi%5Cleft(e_k%5Cright)%2C1%5Cle%20k%5Cle%20r$ 是 $Im%5Cvarphi$ 的一组基，于是i是定义好的单线性映射.容易验证， $i%5Ccirc%5Cxi%5Cleft(e_i%5Cright)%3Di%5Cleft(g_i%5Cright)%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_i%5Cright)%2Ci%5Ccirc%5Cxi%5Cleft(e_j%5Cright)%3D0%3D%5Cvarphi%5Cleft(e_j%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，于是我们就找到了K上的线性空间W，满线性映射 $%5Cxi%3AV%5Crightarrow%20W$ ,以及单线性映射 $i%3AW%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di%5Ccirc%5Cxi$ .

(2)若另外存在K上的线性空间 $W_1$ ，满线性映射 $%5Cxi_1%3AV%5Crightarrow%20W_1$ ，以及单线性映射 $i_1%3AW_1%5Crightarrow%20U$ ，使得 $%5Cvarphi%3Di_1%5Ccirc%5Cxi_1$ ，则 $dimW_1%3DdimW%3Dr$ ，取 $W_1$ 基 $%5C%7Bh_1%2C%5Ccdots%2Ch_r%5C%7D$ ，其中 $h_i%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_i%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r$ ,直接定义线性映射 $%5Ceta%3AW%5Crightarrow%20W_1$ ,满足 $%5Ceta%5Cleft(g_i%5Cright)%3Dh_i%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_i%5Cright)%2C%5Ceta%5Cleft(g_j%5Cright)%3D0%3D%5Cxi_1%5Cleft(e_j%5Cright)%2C1%5Cle%20i%5Cle%20r%2Cr%2B1%5Cle%20j%5Cle%20n$ ，于是容易验证 $%5Cxi_1%3D%5Ceta%5Ccirc%5Cxi%2Ci%3Di_1%5Ccirc%5Ceta$ ,并且 $%5Ceta$ 是线性同构.