三角函数公式_4

在前 3 期专栏中, 我列出了很多三角函数的公式, 及其推导过程;

本期专栏, 我们来看这些公式的实际应用.

12. 正弦和余弦的导数

我们可以用几何法, 推导正弦和余弦的导数:

点 B 和点 D 在单位圆上, 过 B 作 BA⊥x 轴于点 A,

过 D 作 DC⊥x轴于点 C, 过 B 作 BH⊥CD 于点 H,

设 ∠BOA = θ, ∠BOD = Δθ,  ∠BDH = α,  BO = DO = 1,

利用初中几何知识, 易证

AB = sin θ

CD = sin(θ + Δθ)

显然有

(圆心角很小时, 弧长会无限接近弦长.)

∵ DH = CD - AB 

∴ DH = sin(θ + Δθ) - sin θ = Δ(sin θ)

用类似的方法, 可推导出余弦的导数.

不过, 几何法有些不严谨之处, 最好是用代数法.

利用和化积公式:

令 

则有

根据导数的定义,

所以, 

在此基础上, 我们推导余弦的导数:

令   , 则

于是

所以

13. 正切和余切的导数

使用几何法, 可以推导正切和余切的导函数, 方法与上文类似.

下面我们看一下, 更严谨的代数法.

之前我们证过

令  

则有

所以

根据导数的定义, 有

现在, 我介绍一个新的三角函数, 叫 "正割", 符号为 sec.

这是正割的一个定义:

我们将刚才的结果, 稍作变形,

因此, 

在上式中, 令  

我们又遇到了新的三角函数, 叫"余割", 符号为 csc.

余割的一个定义为:

所以, 余切的导数

 

14. 特殊角的三角函数

利用等边三角形, 可以得到 30° 和 60° 的三角函数;

利用等腰直角三角形, 可以得到 45° 的三角函数;

这些是初中课本的内容, 不是我们的重点.

利用合适的方法, 可以求出 15° 的三角函数, 例如,

这里补充一段内容, 我们用几何法, 证明正切的半角公式:

对于锐角 θ, 我们构造 Rt ΔAPC,

使得 ∠C = 90°, ∠APC = θ,

延长 CP 至点 B, 使得 BP = AP, 连接 AB,

则 ∠B = ∠BAP,

设 AP = 1, 则  BP = 1,

AC = sin θ, CP = cos θ,

CB = CP + BP = 1 + cos θ ,

对于钝角 θ, 构造 Rt ΔAPC, 使得

延长 CP 至点 B, 使得 BP = AP,

则 ∠APB = θ,

连接 AB, 取 AB 的中点 M, 连接 MP,

∵ AM = BM, AP = BP, MP = MP,

在 Rt ΔABC 中,  ∠BAC + ∠B = 90°

在 Rt ΔBPM 中, ∠BPC + ∠B = 90°

设 AP = 1, 则 BP = 1,

对其他 θ, 可验证以上结论成立.

利用和角公式, 可以计算所有 3° 的倍数的三角函数.

我们来做个练习, 计算 cos 36° 的精确值.

之前我们证明过:

所以有

之前我们证过

则有

∵  

∴  

令   则

配方得

在上述例子中, 我们综合运用了和角公式, 倍角公式, 以及其他三角恒等式.

下期预告

反三角函数的计算, 反三角函数的求导.