2022凯研教育模拟卷数学一总结1

       这几天看私信的时候，发现有小伙伴提到了这个《凯研教育模拟测试卷》，想让我测试一下这套卷子，还给了我PDF，在此多谢这位大佬。然后我就满怀期待的做了一下第一套，好家伙。。。成功让我梦回李艳芳的卷子。。。。我又是足足写了两个多小时，该怎么说呢。。。其实这套题挺好的，就是。。。有点麻烦

选择题：

1、这题的问题就很反常，别的问无穷小量的题都是问阶数，这题就很标新立异，问系数。。。。说白了，各个选项给出的无穷小量是几阶根本不重要，只看前面的系数就可以，这反而让解题容易了很多，毕竟有些选项只根据系数的正负就可以排除，总之不算难

2、这题是一个考微分方程解的结构的问题，只需要注意y*之间的相加减虽然可能是齐次方程的解，但是无法判断和y1、y2之间是否线性相关，所以在写齐次方程的通解的时候老老实实的用y1和y2。至于特解，两个非齐次的解想加除以二就是

3、这题很纯粹的考函数“祖孙三代”之间奇偶性的关系，只要仔细读题，这题就不成问题

4、这题的驻点实际上可以求出来，求出来之后往各个选项里带，然后判断敛散性就可以。题目虽然看起来比较乱，实际上逻辑并不难捋清，就是。。。。一定要好好看选项，我在这题纠结了半天的原因是把BD选项后面的发散看成了收敛（已被自己蠢哭。。。）

5、求行列式值的问题，没什么难的。通过求行列式值能得出a有三个不同的取值，分别回代，然后判断秩即可

6、由于矩阵和伴随矩阵的特征向量是一样的，所以题干里给出的α就是A的特征向量，相乘之后就能得到a的值和对应的特征值，但是要注意的是，此处求出来的是A的特征值，题干里的λ是伴随矩阵的特征值，所以最后还要转一下

7、这题。。。我不知道有没有固定结论，但实际上就算没有固定结论，通过特值法也能选出正确答案。这题实际上就是在B和C中做选择，所以写出一个N，让其和其转置的乘积是E就可以

8、额。。。。注意，这题是问小于3，没有等于，所以。。。千万别带错分布函数的解析式

9、这题算是手下留情了，四个选项里都有P(A+B`)，并且稍微算一下就能得出A是错误的，剩下的选项直接不用算了

10、这题纯纯的定义题了，没什么难的，按部就班去算，然后判断就可以。只不过。。。这种选有几个是正确的选择题。。。怕不是比较难的卷子的标配。。。。

       选择题的话，称不上有多好做，但是实际上也不算太难，基本上只要能捋清题干里的逻辑，知道题干到底想干什么，就很容易得出正确答案，所以更重要的事情反而是认真读题干，只要读题读选项的时候不出问题，这些题还是好处理的（相比于后面的题。。）

填空题：

11、渐近线问题，实际上就是算两次极限，不过说实话，这题的极限相对来讲不是那么常规，也就不是那么好算，并且最后的答案还让人有那么一丢丢的不敢相信。不过做题嘛。。。就是要对自己有足够的自信，算出什么就写什么

12、这题的题干看着很熟悉，不过实际做起来有点和以往的题不太一样，以往这种原函数和函数纠缠在一起的题，基本上都可以把原函数解出来，进而得出函数的解析式。这题的话属于那种不解出解析式，直接通过式子里的关系代数求解的，只要能把这个思路转换过来，这题就变得简单了很多（我去试着解了一下原函数，我是真解不出来。。。。）

13、这题属于是老朋友了，在之前的模拟卷上有类似的题，函数前半段是奇函数，所以求四次导之后还是奇函数，代入x=0直接没了。后面的慢慢算四次导数也可以，直接写展开式也可以，都可以很快得出结果

14、本来以为给出了极值点，只要通过求一阶导数就能得到a和b的值，结果。。。还是逃不过要求二阶导数的命运。。。。a和b有两组解。。。。不过也没什么难度，求完二阶导数之后就可以排除掉一组解，剩下的一组直接代入就能得出结果

15、好家伙，这题我直接好家伙，选序号的题都直接出到填空题里来了。。。。不过其实还好，这题的难度不算大。因为大矩阵和原矩阵的秩是一样的，所以可以直接视为大矩阵比原矩阵多的那一圈数都是0（只是视为，因为秩相等的话，证明肯定可以通过初等变换消掉，实际上题干里说了外面的一圈不全是0），那么就很好判断①和②都是正确的，同时大矩阵肯定不满秩注定了③是错误的，至于④嘛。。。只要把大矩阵转置一下，就很容易沿用之前的思路判断出④是正确的

16、唉。。。这题除了麻烦其实没什么别的特别多的东西，作为一个小题还要写正态分布的概率密度函数，还是两个纠缠在一起，属实是有点过分了。不过嘛。。。这题最麻烦的实际上也就是这，剩下的按部就班算就可以，没什么难的

       填空题突出一个就是麻烦，基本上没有题是那种简简单单很迅速就能得出正确答案的，都需要弯弯绕绕的算好几步。。。事实上这整张卷上的题差不多都是这样，基本上没有让人省心的题

主观题：

17、(1)直接带公式就行，然后需要注意一点，这题算的是个反常积分，所以要根据a的取值范围去定极限的值，只要能定好极限的值，这题就完成一半了，另外一半是能把那个积分算出来。。。这种底数不是e的不是很经常出现，但是属于必须要掌握的东西，这种程度的积分虽然麻烦点，但不应该有问题

        (2)这题啊。。。高中级别的导数题，直接构造函数求导就可以

18、唉。。。又是这种大计算，我又整整写了两面草纸。。。。这种题稳稳当当的算肯定不会有问题，烦人就烦人在这题的式子实在有点太长了，算到最后确实要简单很多，不过一定要记得化成最简形式（事到如今，算梯度的散度这种定义不应该再有问题了）

19、这题没别的，就是专门恶心人一下，别人都是要椭球的上半个椭球，这题就非要多取一点。实际上对于题没什么太大的影响，该补面补面，该用高斯公式用高斯公式，该绕过奇点绕过奇点，一切都是老几步。认清这些之后，这题除了计算量就没什么别的东西了

20、这题也是让我思考了有一会。不过其实还好，根据题里的信息还是能找到一些端倪想到解题方法的。

        (1)这题提供三种方法，第一种是最折磨自己的方法，就是直接求导，求出来的导数。。。诶嘿～我没求～总之想想那导数都辣眼睛；第二种方法是答案解析里的方法，取对数之后进行求导，然后判断单调性；第三种是我用的方法，这题可以写成对勾函数（也可以叫均值不等式）的形式，然后换元就能很快得出值域。个人认为第三种是这几种方法里最省事最快的解决方法

         (2)这个问的话。。。说实话，我最开始属实是不知道这玩意怎么处理，放缩也感觉怪怪的，直接积分也算不出来。不过实际上看看题干里到处都有双阶乘的存在，就很容易想到这个双阶乘是点火公式点出来的，所以基本上可以确定，利用x=tant的换元来处理题里的积分。通过这种换元就能求出这个积分，求完积分再利用大题干里给出的不等式就能确定出数列的上界。那到这个时候就需要去证明数列是单增的了，为了能和上一问搭上边，肯定是使用比值判别法了，写完前后两项的比值之后，刚好和第一问的解析式一样，然后就很好判断单调性了（当然，这题如果看见1+x²就本能的去用x=tant更好）

          (3)前两问都做出来的话，这第三问就简单多了，基本上就是在那叠buff，把要求的式子凑形，凑成之前求出来的各个式子，求完之后乘在一起就可以了，这题麻烦是真麻烦，不过确实可以说是一道好题

21、(1)证明线性无关的话，其实又是用定义，两边左乘A²就可以。然后后面那个式子都行列式值的话，可以整体看成一个B，然后又是很经典的去找BP=PC，然后B和C的行列式值就相等，思想是很基础的思想，只不过套了一个比较复杂的帽子

        (2) 实际上，用同样的思想很好写出和A相似的那个矩阵D，然后写f(x)的形式的时候里面全是交叉项，用经典的处理只含有交叉项的解析式的换元方法就可以，最后的规范型也不难得到

        (3)这一问的话，利用上一问求出的D就很容易证明出A的三次方是0矩阵，然后后面那个一看就很反人类的矩阵方程，其实我做的时候和答案解析的步骤完全相反，我是先把这个矩阵方程因式分解了，分解完之后发现可以根据相似理论，利用D矩阵来求解出X，答案解析里先换的相似矩阵，结果是一样的

22、(1)两个连续性随机变量生成的随机变量，建议使用卷积公式来进行计算

        (2)很基础的最大似然估计计算，没什么好说的

        (3)实际上就是让求上面估计量倒数的期望，能明确这一点的话就很容易算出最后结果，毕竟这个期望并不难算

       大题的话，除了最后的概率论大题比较简单之外，剩下的大题都很有分量，这也是我说梦回李艳芳卷子的原因，这张卷上面的好题其实还是不少的，除了计算量大之外，还有一些考察做题方法和做题思路的地方，从这套卷看来，质量确实不错，是一套值得好好研究的卷子。虽然话是这么说，但整套卷坐下来还是很累人的，好在只有两套卷子，要不然我估计就要自闭了。。。。