形而上的数学（1）

其实并不想给随笔起题，因为那不是随笔该有的样子，但碍于没有题目便不能发表，便暂且题为:形而上的数学。

数学若要分，可分为几何、代数、分析，其余作这三门不同比例的混合物。

这句话大体正确，但有两点需要说明:一是虽这么划分，但这三门并非泾渭分明，运用代数进行分析，运用几何联想抽代，都是很常见的；二是并非任意一门数学分支都是这三门的混合物，譬如:数理逻辑、元数学、数学史。

很多人可能认为几何诞生最早，然后是代数，最后是分析。片面地看，的确没错。

几何——公元前300年——古希腊——欧几里得《几何原本》

代数——16世纪——法国——韦达

分析——17世纪——英国——牛顿《自然哲学中的数学原理》

但为何我说片面呢，因为这些标志更像是呱呱落地的婴儿，若真要说生命的诞生，胚胎时期不就是了吗？不然为什么在女方怀孕的那一刻，一对爱人就多了个父母的标签呢。

当我看向历史长河时，有那么一个时期给了我一个统一的答案——古希腊。至于能不能再追溯到受精卵，这个问题全凭读者论断。

代数脱胎于算数，亦即自然数的四则运算，而说到自然数不得不说起毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，这里的数指的就是自然数。他们认为万事万物皆可由自然数表示，而所有的自然数中1、2、3、4最为根本，分别代表点、线、面、立体。若是将这四个数加起来便得到十，而十代表宇宙。

“万物皆数”是一个很美妙的思想，而这个思想也埋下了“形而上的数学”的种子，这句话我们以后会慢慢明白。

而说到分析，就得先明白分析和代数的本质区别在哪。

17世纪的分析最早研究的是无穷级数（即无穷多项的求和），而无穷级数最早研究的是几何级数（或称等比级数），譬如:1+1/2+1/4+1/8+……（首项为1，公比为1/2的等比数列的无穷项求和）。

一般化，若首项为a，｜q｜＜1，则几何级数Sn=a/1-q。这个结论依附于极限的概念（n→∞，qⁿ→0），而极限又依附于无穷的概念，故分析脱胎于无穷，故分析和代数的本质区别在于是否涉及无穷运算。

既如此，分析真的诞生于17世纪吗？

不然，在古希腊的时候，有关无穷问题的解法就已经出现了，即穷竭法。

首次提出的是Antiphon，他在求解尺规作图三大问题中的“化圆为方”时，给出用内切正多边形“穷竭”圆的思想。后Eudoxus进行改进，将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量。不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。”再之后由阿基米德完善，用于求解曲面面积和旋转体体积。

所以分析也诞生于古希腊，那为什么后面穷竭法“”消失”了呢？

其一是芝诺悖论的出现，使得数学家不敢随意谈无（实）无穷；

其二是古希腊的衰没，思辨的光辉被宗教的乌云所遮蔽，哲学家爱问为什么，而宗教不允许你问什么，这种状态一直持续到文艺复兴前。是文艺复兴让古希腊的思辨主义再次进入人们的视野，哲学先行，数学其后，继而有了17c的微积分理论。

至此，几何、代数、分析的受精卵着落于古希腊，诞生了生命。

我并非希望读者全然接受我的观点，而是希望用不同的观点，让你明白数学和哲学一样不存在独断论。注意，我这里说的是数学，而不是数学史。