浅谈高等数学（5）

（Tips：教材链接已在第四期中给出；一切涉及求导的内容我都直接给出结论，证明此后都会给出）

第五期  连续、可导与间断（1）（这是我准备尤为重点叙述的一个内容）

       函数，或者说得宽泛一点，曲线，有着各种各样的性质，例如周期性、奇偶性、单调性等等。而在微积分中，几乎最重要的一个性质就是连续。这个名称很好通过字面意思理解，因为我们仔细想想，似乎我们中学阶段学习的函数（也就是基本初等函数）看起来都是连续的，这事实上出于直觉。但仍然是那个问题：如何用数学语言来准确地刻画这一特性？

       我们可以这样思考：如果函数在某个区间内连续（也就是能通过一笔画出来），那它的函数值的变化过程就一定能分为变化量为无穷小的变化过程之和。例如下图：

       这是函数的图像。观察的部分，此时的函数值从-1变动到了0。为了说明函数连续，就要说明函数值是“一点一点”变化的。那么我有两种分割方法：第一种是按横坐标分割，即分成无数个长度为无穷小的（也就是），使每个引发的为无穷小；第二种则是直截了当地将函数从-1到0的变化过程分为长度为无穷小的变化过程，也就是如图所示：-1~-0.95，-0.95~-0.9，……，-0.1~-0.05，-0.05~0，并无限继续细分下去。（请注意，0同样是无穷小，因此常值函数不妨碍我们的思考）但无论采用哪一种都无伤大雅，如果函数不连续，你是哪一种都做不到的；反之，如果函数连续，则两者均可。

       上述是一个单调函数的例子。有了这样的思考，就引出了我已提到过的那句话，能概括函数连续的充要条件，无论其是否单调（这也就是第二种分割方法）：若函数在某个区间内连续，则函数值的变化过程能分为变化量为无穷小的变化过程之和，反之亦然。请注意，在这里我尤其强调“变化过程”，而非增量。在这里我有必要咬文嚼字一番，虽然这似乎是想复杂了，但对逻辑思维是有帮助的。

       我们不妨改变用词看看效果：函数值的增量能分为无穷小增量之和。但例如，任取一段完全跨越了0的距离，其增量都是1，把1分成无穷小量之和是十分容易的。但显然，这个分段函数在0处是不连续的。或者还有一种说法，在前述错误说法的基础上再添加要求“使每个增量的起点与终点都存在区间内的自变量与之对应”。在这样的定义下，确实不连续了。但例如，任取一段完全跨越了0的区间，其增量都是0，把0分成无数个0之和，每个增量的起点和终点均为1，在这段区间内都存在自变量与之对应。但它又是显然不连续的。总之，用“增量”来描述连续极其困难。如果使用正确的描述，那么在某个完全跨越了0的区间内的变化过程就是，不可按照要求划分，因此不连续。究其本质，“增量”的描述失败，是因为这是一个瞬间而跳跃的变化，它只考虑起点与终点。

       然而，将这样的汉字使用数学语言描述几乎不可能。这是因为，我们无法表示“变化过程”的概念。而用第一种分割方法就方便得多——它可以通过先定义某点处的连续，再扩展到区间内的连续，无穷小完全可以用极限描述；不仅如此，第一种还表现了与之间的依赖关系。这优越性在定义和之后的探索中自有体现。那么，我们给出定义：

定义  设函数在点的某一邻域内有定义。若

，

则称函数在点处连续。若函数在一开区间内的每一点都连续，则称函数在该开区间内连续。

       看出来了吧——这个定义与导数定义中的分子是一样的。这对我们研究连续与可导的关系是大有帮助的，通过这个定义，我们发现，如果函数在某点处不连续，那么在该点处必然不可导——宽泛来说，可以理解为分子为0而分母不为0，则极限一定不存在。那么如果函数在某点处连续，就一定可导吗？

       如图，是的图像，它的导函数是，显然，当时，其导数为，不存在。从几何意义上来说，在0处并非没有切线，而是切线垂直于轴了。那这种情况本质上是出现了什么呢？请读者自己思考一下，我们下期给出解答。（恭祝大家除夕快乐！）