阿基米德如何借助抛物线和穷竭法来求圆柱体的平面斜截体体积方法2

        在上一个命题中，阿基米德的方法是借助杠杆原理，首先在一个三棱柱和一个半圆柱之间建立比例关系，进而建立平衡关系。然后，用对称的三棱柱等量代换半圆柱体，进而，在三棱柱和圆柱体的平面斜截体之间建立平衡关系和比例关系。最终，通过三棱柱的体积和杠杆原理和比例论，求得圆柱体的平面斜截体体积等于此圆柱的外切正四棱柱体积的六分之一。

        而本命题另辟蹊径，虽然还是求圆柱体的平面斜截体体积，但是求解的角度截然不同，但殊途同归，球的结果仍然相同。所采用的的方法大致类似，但是借助的桥梁纽带发生了根本的变化，上个命题是借助三棱柱体积来联系圆柱体的平面斜截体和半圆柱体，而本命题是借助抛物线的二次性进行分析求解，别有一番风味。

        本命题通过在底面半圆中建立抛物线，借助抛物线的纵横坐标之间的二次关系，建立纵坐标的比值等于横坐标的二次比这样的比例关系，再借助比例的性质（分比性质）和勾股定理把纵横两个方向的线段比值转化到纵向一个方向上的线段之间的比例关系。而其中的平方比正好对应着贯通上下底面的截面在斜截棱柱和圆柱的两个截体中的相似直角三角形的底边的平方比。进而转化为两个已知线段的比。这就在平面和线段之间建立了成比例的相等关系。接下来就是用穷竭法，把相应的平面叠加为立体、线段叠加为平面，就在立体图形与平面之间建立了比例关系。而两个平面之间的关系是已知的，即矩形面积与其内接抛物线型平面面积之间的比例关系是确定的。通过这两个平面之间的比例关系，就可以对等出两立体图形之间的体积关系，即圆柱体的平面斜截体与圆柱体的外切正四棱柱之间的比例关系为1：6.

        整个论证过程中，抛物线起到了辅助线的作用，正是因为抛物线的二次性，所以，可以把线段的长度比转化为面积之间的平方比，再结合穷竭法，就可以实现平面之比等于立体图形之比的对应关系。从而达成体积求解的目的。其匠心不可谓不独到，心思不可谓不机巧。

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