7个快速解出数学难题的方法
我早就想写了这篇文章了，一直没时间。最近上网课了，时间一多，就整理了一下，写了这些。希望您能耐心看完（这些是我解题思路中遇到的一些方法）。
主要是一下几个方法：
1 学科互通思想（原创）
学科互通思想，其实我是在《说题King（合集ID：315255）》系列中提到过的，当时是以玩笑的形式提的，但是这其实真的是我在解题（尤其是竞赛题）时的一个方法。
1.1 什么是“学科互通思想”
其实就是它的字面意思，就是用另一个学科的思路去推理这一科的方法。举个例子：
这是一道很简单的物理光学作图题。如果您第一次接触或者不熟悉的话，那您肯定是很难做出来这道题的。其实，如果不出意外的话，此时数学正好学到最短路径问题（将军饮马模型）。此时，我们很容易发现，这个图和数学的将军饮马模型非常相似。实际上，这就可以用将军饮马模型做。
这时，我们就在物理中用了数学的方法，这就是学科互通思想。
1.2 为什么这个思想成立
解释这个并不难。因为我们要串联的基本都是同一类，多为理科连理科，而理科知识又是一环套一环的，跨科目也是。所以这个思想是成立的。
还有个更简单的方法证明：我们常听到很多人说：“数学好，物理、化学差不到哪去。”这完全可以证明。
2 物尽其用思想（改编+原创）
你的中学数学老师应该会告诉你这个方法。这个方法其实很多人都知道，但是并不一定能用上、用好。
2.1 什么是“物尽其用思想”
小学数学书（旧版，新版不知道）曾经有一章，主题是“排除冗余信息”，那是因为小升初考试是会考一道应用题是有冗余的无用条件的，但是在中学，不会了。在中学的解答题中，尤其是几何题，是不会出现冗余信息的，怎么样都可以用得上（有些应用题还是会有的，应用题也要注意辨别）。那什么时候能用得上呢？举个例子：
这一道题其实是比较难的，如果您很难将其算出来，那是正常的。那就试试用这种方法去解，这里阐述一下思路：
想办法证全等 在初中阶段，基本上看到证相等的都是找全等以及其延伸性质（比如角平分线性质、等腰（边）三角形、垂直平分等等），所以可以记住一句话（我数学老师告诉我们的）：“要相等，找全等。”所以这道题应该是通过证全等解的；
找条件 这题条件不多，往往这种题就难解。其中有一个比较有价值的条件：正方形ABCD，这样，我们就直接有很多条件：边相等，角相等。那根据“物尽其用思想”，将“正方形ABCD”的所有条件都用上证全等；
瞎拼硬凑 虽说是瞎拼硬凑，但还是有方法的：我们要，将“正方形ABCD”的所有条件都用上，又要和两条线段建立关系，是不可能的。所以要做辅助线。而辅助线又得同时满足两个条件：①与要证明的两条线段有数量关系；②能与“正方形ABCD”的所有条件建立全等三角形的。那不难想到一个方法：平移。其实就是：分别过点B, 点D作MB//EG, ND//HF.
4. 证明 要证明辅助线等于要证的线相等和证全等并不难，这里不再赘述。
这样分析之后，您肯定会发现这道题一点都不难（其实我和另外几个同学讨论过这道题，讨论了半个小时；给数学老师一看，只用了半分钟不到就解出来了）。所以我也在这里发现了“物尽其用思想”。
2.2 为什么这个思想成立
其实前面也解释过。在中学阶段，解答题（不是应用题！）的每个条件都是可以用上的，可能要绕一大圈，但一定能用上，所以只要瞎拼硬凑能凑上，那十有八九这个思路是对的。
3 疯狂联想思想（原创，但很多人也会想得到）
联想是人的本能，所以这个方法是很简单的。但是，很多人即使知道这个方法，在解答也分分钟忘掉。
3.1 什么是“疯狂联想思想”
比较难说，举个实际的例子：（提示：这是人教社的《全国初中数学竞赛试题汇编》的样题6（A）（第十一页））
这道题真让人摸不着头脑。如果您有看过我的《初中生都可以学会的导数》并且自学了导数求最值的方法或看过我的《初中生都听得懂的求值域（函数的范围）》，那您会自信地求一下，然后发现求不出。因为我可以告诉你，这个代数式的导数非常复杂（有兴趣的可以算一下，是分式）。
那如果您以做普通题目的看法再看一看，您会惊讶地从这联想到勾股定理！然而我们再把这道题按勾股定理的思路转化为图形，就会得到这样一幅图：
其中 就是AC的长度，
就是BC的长度。如果您有仔细阅读上文的学科互通思想，那您不难联想到，这就是将军饮马模型！所以只要做线段BC关于直线DE的对称，就构造出一个大三角形，亦可用勾股定理求出长度，所以长度是13。
3.2 为什么这个思想成立
其实这和学科互通思想的原理差不多，只不过这个是在同一学科中套用，所以这个思想成立。
4 穷举思想（原创）
这容易联想到我们平常所说的穷举法。实际上这和穷举法还有一定距离。先解释穷举法：穷举法就是根据题意找到答案的大致范围，然后试一遍（当然你不确定范围直接试也行，我倒看看你要试多久）。
4.1 什么是“穷举思想”
这个穷举思想是用在几何中的，它是最耗时最笨的方法，但是是很有效、只要不作辅助线都是能用（有的作辅助线也能用）的方法，它有两种。举个例子（人教社 数学书 八年级 上册 第91页 复习题13 第3题）：
先是第一种：这道题虽然是普通学生都得做得出来的。但是如果对概念不熟悉或者用得不炉火纯青的话，那就很难做出。
因为这道题是教科书上的题目，那看肯定难不到哪去。它肯定只需要用学过的知识就能解出。那怎么解还是不知道。这时，我们就能用穷举思想：我们先把我们知道的所有条件都写下来（注意2个写的注意事项：①不要将两个条件叠乘一条写（尽量拆开），如：a=b, b=c（√），a=b=c（×）；②一行只写一个，不要写得密密麻麻看不请）：
AE=CE,
AD=BD,
∠ADC=90°,
∠CDB=90°,
∠AEB=90°,
∠BEC=90度.
然和就可以进入第二步了：试。
先一条一条地试，把能得到的所有条件都写在列表后面（如果您能保证您在写的时候已经拆得最散了，您就可以跳过这一步）；
在两条两条地试，把能得到的所有条件继续写在列表后面。
然后三条三条地试，一样写。在这时，如果您有仔细试，您就会在条件AD=BD,∠ADC=90°, ∠CDB=90°时得出AC=BC（BC要作辅助线），那算到这一步，一切都变得非常简单了。答案也就水落石出了。
然后是第二种，把所有学过的定理都试一遍，从三角形三边条件试到全等再到三点共圆，一定有对的。
4.2 为什么这个思想成立
它其实是穷举法的演变，穷举法它有用，所以它成立，这个也就自然成立，所以就算这个很玄妙，但是它就是成立的。但是由于它耗时、耗力、耗笔墨，所以不建议上来就用，只有在迫不得已、实在不会时再用。
而且现在正规的考试是不会再出超纲的题目的，所以用到的方法肯定都是已经学过的。二这个方法就是逐一排查，把所有思路都写下来，就肯定能得到答案（有些做辅助线的题目不行，但是不多，一年碰不上两道）。
5 类比思想（原创）
这种方法应该很少人能想到。这种思想不能望文生义，因为它的内容并不是这样的，不然就是“疯狂联想思想”了。
5.1 什么是“类比思想”
它的意思是“将一道几何题按题意把它画出来”。这么解释肯定有很多同学是不理解的，几何题肯定都是给了题的，为什么还要再画一遍。那我就告诉你了，我们画的图和它给的图得不一样。比如这道题：
这道题当时我们班除了我最快的也花了一小时才解出，其实我也是碰巧整到了。我当时心想舍近求远整点活，但没想到碰巧对了。
一般人看到一般会先连接OQ，然后试图证全等。实际上如果用了类比思想的话，您就会改变想法。
我们根据题意画一下图：
这时您会发现，这个图符合题目的每一个条件，但是和给出的图是一点都不像，而且肉眼可见，证不了全等。所以这些条件耶稣来了都证不出全等。这样，您就可以放弃证全等了。
5.2 为什么这个思想成立
很简单，因为给出的条件画出的图肉眼可见某个条件根本就不成立，那就说明这些条件是证不出这一条件的。
6 张手就来思想（原创，但是有些人真的想得到）
确实是张手就来，很多人设想过，但是没用过。
6.1 什么是“张手就来思想”
就是张手就来。比如这道题：
这道题是很简单的，理应上应该上过初二的都会。但是我们班错了一大半，很多优生和特优生也错了。因为答案是四个都对。
四个都对，不难让人怀疑自己错了。难往往这时，我们就要用到这个方法：直接量。
（如果不是很正规的考试，建议自己在草稿纸上重新画一遍，再量自己画的）
最后量得，确实是四个都对。
这个方法我可以告诉您，我在《说题King - 一道很难的题（说题King 第6集）》中也说过了这种方法，只不过是以玩笑的形式说的。
6.2 为什么这个思想成立
只要您用类比思想试过发现这道题只有一种图的话，这个思想是绝对成立的。因为事实大于雄辩对吧。
一般地，这种思想只能用在选择题、填空题或者让您推测两条线段（两个角）的关系并证明的解答题的猜测部分。
7 舍近求远思想（原创）
舍近求远一直都不是支持普通生用的方法。但是这是个方法，而不是为了整活而整活。
7.1 什么是“舍近求远思想”
舍近求远，顾名思义，就是摄取简单的方法，用绕一个弯子的方法。这其实用一张图可以理解：
虽然不是本意，但是可以理解为不走线段（两点之间线段最近）而绕弯。
那这么说感觉用不上啊？不，看回这道题：
又是这道题。通过类比思想，我们知道它证明不了全等，这就是简单的方法，但不成立，所以舍近；实际上这道题是先过点Q分别作QM⊥AC交AC于点M，QN⊥OD交OD于点N，QP⊥AB交AB于点P。作完这几条辅助线后，您就会通过疯狂联想思想想到了角平分线的性质，得到QM=QP，QN=QP，∴QM=QN，∴OQ平分∠COD. 这就难了一些，所以求远。
7.2 为什么这个思想成立
如果您的数学很好甚至比我的还好，那相信您肯定跟我一样在做数学练习时十分无聊，一般会用舍近求远的方法去做题，用于消遣和打发时间。往往这时，您就会发现，有些题不用这种方法而用简单的方法解根本解不了，而且做这题时，您是想着用更难跟复杂的方法的。所以这个思想是成立的。
（注：这里的舍近求远的“近”指的是“简单的思路”；“远”指“复杂的思路”）
只有七个思想，但是也够您理解、背和消化很久了。这些都是我用的方法，希望您能用上！
祝您天天开心！
