【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep129】一个函数方程的解

所谓函数方程，就是指包含自变量和未知函数的方程，方程的解是一个函数。

今天看一个函数方程的例子，这个例子本身很有趣。

74一个函数方程的解

f（x+y）=f（x）+f（y），按照从简单到复杂的顺序分析——

解：线性齐次函数f（x）=cx（c=常数）

证明：归纳法得出——

f（x1+x2+……+xn）

=f（x1）+f（x2+……+xn）

=f（x1）+f（x2）+…f（xn），记为（*）式。

part1：当c为正有理数的情况——

1. 由（*）式得：f（x+x+……+x）=f（nx）=nf（x）；

2. 由1得：f（n（x/n））=nf（x/n），即f（x/n）=f（x）/n；

3. 由1、2得：f（mx/n）=f（mx）/n=（m/n）f（x）.

part2：当c为0的情况——

1. f（0+0）=f（0）+f（0），满足方程，即f（0）=0.

part3：当c为负有理数的情况——

1. 0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x），f（-x）=-f（x）；

2. 由1：f（-nx）=-f（nx）=-nf（x）；

3. f（-x/n）=-f（x/n）=-f（x）/n；

4. f（-mx/n）=-f（mx/n）=-mf（x）/n.

总结：对于有理数r，f（rx）=rf（x）。

检验：将x=1，c=f（1）代入f（rx）=rf（x），得——

f（r）=f（r*1）=rf（1）=cr，即c为有理数时，上述解成立。

part4：当c为无理数的情况——

1. ρ为任意无理数，则可以用十进小数数列{rn}逼近它，ρ=a0+a1/10+a2/10^2+…+an/10^n…，其中ak为0到9中的任意整数，k=1，2，……——

   r1=a0+a1/10，

   r2=a0+a1/10+a2/10^2，

   ……

   rn=a0+a1/10+a2/10^2+…+an/10^n，

   ……；

2. rn为有理数，则f（rn）=crn，limf（rn）=clim rn=f（lim rn）=f（ρ）=cρ，即该函数在c为无理数时也成立。

总结：对于任意实数f（x）=cx（c为常数），为原方程的解。

到这里！