【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep26】实数世界（三）
昨天本来想把实数的运算性质一次性说完，结果敲了两千来字发现才开了个头，就果断放弃了这个不成熟的念头，然而，开头忘改了，哈哈哈，所以，大家现在都知道，老碧上一篇妥妥地给自己立了个flag，并被自己坑了，可真是“优秀”！
今天可以结束对实数的相关性质的验证了，明天介绍几个有用的工具，后天就会进入更有趣的内容！
Ep24里面，积的存在性证明与和大同小异，唯一性证明有一点点绕，跳过的宝宝可以回头再去理解一下！
我们继续验证，在实数范围内的“乘法”也满足交换群的四个性质，第四个性质证明稍复杂——
15乘法的性质
书中首先给出了实数乘法的前三个性质，这三个性质的证明与加法前三个性质的证明大同小异，利用了积的定义和唯一性，已经掌握的宝宝可以跳过——
其中——
交换律
结合律
有单位元——1
书中先给出了三个数都是正数时，结合律的证明——
接着说明了，当三个实数不全为正数时结合律依然成立——
我们可以按照同样的思路，利用实数乘法的定义，依次给出这三个性质的证明——
交换律的证明——
我们任取两个实数f、g，我们分别用两组有理数从两个方向无限接近它们，a<f<a'，b<g<b'，对所有的（/任意的）a、b、a'、b'，有ab<fg<a'b'；
同理，ba<gf<b'a'；
因为有理数乘法满足交换律，所以ab=ba，a'b'=b'a'，所以对所有的（/任意的）a、b、a'、b'，还满足不等式，ba<fg<b'a'；
结合2、3，以及实数积的唯一性，可知对任意实数f，g，fg=gf。
即实数乘法满足交换律。
结合律的证明——
我们任取三个实数l、m、n，我们分别用两组有理数从两个方向无限接近它们，a<l<a'，b<m<b'，c<n<c'，对所有的（/任意的）a、b、c、a'、b'、c'，ab<lm<a'b',bc<mn<b'c'；
由实数的积的定义，（ab）c<（lm）n<（a'b'）c'，a（bc）<l（mn）<a'（b'c'）；
由有理数乘法结合律可知，（ab）c=a（bc），（a'b'）c'=a'（b'c'）；
结合2、3，以及实数积的唯一性，可知（lm）n=l（mn）。
即实数乘法满足结合律。
存在单位元1的证明——
任取实数k，用两组有理数从两个方向无限接近它，a<k<a'，1也是一个实数，那么也存在两组有理数可以无限接近它b<1<b'，显然，ab<k*1<a'b’；
由1显然可得ab<a*1<a'*1<a'b'，即ab<a<a'<a'b'；
结合1、2，可得ab<a<k<a'<a'b'；
结合1、3，以及实数积的唯一性，可知k*1=k。
即实数中也存在与有理数一样的数1，使得任何实数和1的积等于这个实数。
书中接着验证了实数乘法也满足有理数乘法的第四个性质——
即——
4.任何一个实数都有逆元——对于任意的实数a，都存在另一个实数1/a，使得，a*（1/a）=1，称1/a和a互为倒数。
有理数已经满足这个性质，所以只需要证明任意一个无理数都有倒数即可，书中先证明了正无理数的情形——
每个无理数都有倒数的证明，利用了”有理数分划“这个工具，有理数必然有倒数，所以只需要证明无理数有倒数，即对任意一个无理数a，能找到一个实数1/a满足，a*（1/a）=1，即可——
任意一个正无理数a对应一个有理数分划，且，这个无理数不属于上组或下组；
a.这个正无理数a确定的有理数分划下组的所有正数的倒数必然大于其上组所有数的倒数，
b.任意正有理数都有唯一的有理数倒数与之对应，反之亦然，正有理数与其倒数形成了一个“一一对应”，所以所有正有理数倒数依然覆盖了所有正有理数，
c.故而，所有负有理数&0&正无理数a确定的有理数分划的上组所有正有理数的倒数构成一个有理数分划的下组，正无理数a确定的有理数分划的下组所有正有理数的倒数构成一个有理数分划的上组，其界数就是我们要找的1/a；
——我们由此构造了1/a，下面要验证其满足a*（1/a）=1的条件——
我们记a确定的有理数分划下组的任意正数为x，上组任意正数为x'，那么（1/a）的下组任意元正数为1/x‘，上组任意正数为1/x，其中x<a<x'，1/x'<1/a<1/x，由此可知x*（1/x'）<a*(1/a)<x'*（1/x）；
显然，x*（1/x'）=1/[x'*（1/x）]，它们互为倒数，所以对任意的x*（1/x'），都有x*（1/x'）<1<x'*（1/x）；
由3、4，以及实数积的唯一性，可知a*（1/a）=1。
即，任意正无理数也在实数范围内有倒数。
接着简要说明了一下，利用“绝对值”的定义，在负数范围内，无理数也有倒数——
即，任意无理数在实数范围内有倒数。
即，任意实数都在实数范围内有倒数。
然后，用这四个性质，直接导出了商的存在唯一性——
我们定义实数a为实数c与b的商，若它们满足关系ab=c。
实数商的存在性——
令a=c（1/b），则由乘法的结合律、1的性质、以及倒数的定义可知，ab=[c（1/b）]b=c[（1/b）b]=c*1=c，故a满足关系ab=c；
实数商的唯一性——
假设存在a'满足a'b=c，则由1的性质、倒数的定义、以及乘法的结合律可知，a'=a‘*1=a'[b（1/b）]=[a'b]（1/b）=c（1/b）=a，即任何满足这个条件的实数都是相等的，即商的唯一性。
由此我们定义求两个数商的运算为除法，记为a=c/b。
然后给出了几个综合性质——
一、关于加法和乘法——分配律——
利用实数加法和乘法的定义可以证明；
二、关于乘法和序——不等号两边同时乘以正数序号不改变——
利用符号规则和差的分配律可证。
符号规则即——同号相乘得正数，异号相乘得负数，任何数乘以0都得到0。
实数还剩下最后一个性质需要核验——
16阿基米德公理
在任意一个实数g确定的有理数分划上组中，任意一个有理数c'都比g大，而阿基米德公理对任意有理数成立，即对任意实数g，存在自然数n>c'>g。
即实数范围内，阿基米德公理成立。
至此，有理数范围内的重要公理，在实数范围内都成立，所以我们方始获得了在实数范围内，随便加减乘除相互比较的快乐；
除此之外，实数还具有“连续性/完备性”，我们便能够在实数范围内利用已知的性质，建立严谨的“极限”的理论了。
过几期，我们就会进入“极限论”的内容，拭目以待！
