数学趣题（4）

分解因式：

解：令y=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8

设y=0的根为x=p/q(p,q均为整数且互质）

则(p/q)^5+(p/q)^4-5(p/q)^3-2(p/q)^2+4(p/q)-8=0

将上面等式的两端同时乘q^5，得：

p^5+(p^4)q-5(p^3)(q^2)-2(p^2)(q^3)+4p(q^4)-8(q^4)=0

∴p^5+(p^4)q-5(p^3)(q^2)-2(p^2)(q^3)+4p(q^4)=8(q^4)

又∵p|p^5+(p^4)q-5(p^3)(q^2)-2(p^2)(q^3)+4p(q^4)

∴p|8(q^4)

∵p,q互质，故p不整除q

∴p|8,又p∈Z

∴p=±8,±4,±2,±1同理，可得q=±1

∴p/q=±8,±4,±2,±1，所以方程的有理根只可能为x=±8,±4,±2,±1

把x=±8,±4,±2,±1依次代入原方程中，发现：当x=±2时，方程成立，因此x+2,x-2为多项式的因子提取因子得，原式=（x-2）(x+2)(x³+x²-x+2)

用类似方法，得x³+x²-x+2=0的有理根为x=-2，因此x³+x²-x+2=（x+2）(x²-x+1)

所以因式分解的最终结果为(x-2)(x+2)²(x²-x+1)