第一节 导论

一、可分离变量的微分方程

假设有方程

这个含有微分量dy和dx的方程叫做微分方程

为了解它，我们得分离变量（分离变量就是将与y相关的量放在一边，把与x相关的量放在另外一边），即

然后同时积分

得到

分别取指数，得到

因为e^(kC)是一个常数，因此我们可以用任意字母表示它，在这里我们用A表示，即

二、例题

1.解

按照惯例，先分离变量：

同时积分

得到

分别取指数，得到

由于e^(-2C)是个常数，我们需要确定它的值

好在题目给了一个条件

把x=0，y=5代入，得到

因此

2.解

先分离变量

然后积分(注意我把1/cos^2 y变成了sec^2 y)

解得

即

第二节 标准一阶线性微分方程

一、标准式

标准一阶线性微分方程为：

二、如何解题（引入积分因子）

由于这种微分方程无法分离变量，所以我们要用稍微不正常的方法

比如求

看起来很复杂，但是我们可以在等号两边同时乘以e^(2x^3)，也就是（这里的e^(2x^3)叫做这个微分方程的积分因子）

然后我们注意等号左边的式子，是不是很像乘积求导法则？

我们证明一下：

考虑左边式子

令

则

再令

根据隐函数求导，得到

即

我们证明了e^(2x^3)的导数为e^(2x^3)*6x^2

即可以得出左边的式子实质为乘积求导法则！（y的导数为dy/dx）

由此我们得到

即

同时积分，得到

即

解得

三、重要结论以及通式

1.积分因子

（1）积分因子的表达式

    设积分因子为v(x)，则

（2）积分因子的证明（这里是将目光转到了标准式的左边式子）

设函数v，p和y，以及等式（这里的v表示v(x)，p表示p(x)）

将左边的式子利用乘积求导法则，得到

化简，得到

分离变量，得到

同时积分

得到

即

（3）如何利用积分因子

比如上一个例题，我们先要确定p(x)，这样就确定了积分因子

上一个例题中：

那么

即积分因子

所以我们要做的是将标准的一阶线性微分方程的两边同时乘以微分因子，既可求解。

2. 通式

如果有一阶线性微分方程

那么它的解为

其中

这个公式是怎么证明出来的？交给你们了！（提示：在标准式的两边乘以积分因子，然后利用乘积求导法则化简，积分，最后就可以得到通式了）

注意：遇到一个微分方程，如果可以化成标准式，那就一定要化成标准式！然后就可以利用上述方法解题