【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。 

第一章直线、角、平行线——平行线 

§1-13两组对应边平行的角

【01】在一个平面内取两点 P 和 Q（图1·92），并且从这两点向着相同的方向引射线 PA // QC，PB // QD  。其中 ∠APB 和 ∠CQD 就是两组对应边平行的角。我们来证明这两个角相等。

【证】如图中 PA // QC（已知），∴ ∠1＝∠P（平行线的同位角相等）。

        又 PB // QD（已知），∴ ∠1＝∠Q（平行线的同位角相等）。∴ ∠P＝∠Q（等量代入）。

【02】如果我们将 ∠CQD 的两边从顶点 Q 向外延长（图1·93），就得到 ∠EQF＝∠CQD（对顶角），因而 ∠EQF＝∠P  。

【03】角 P 和角 Q 的两组对应平行的边的方向相同（图1·89），而 ∠FQE 和 ∠APB 的两组对应平行的边的方向相反（图1·93）。

【04】由此得出：对应边互相平行的两个角，如果从它们的顶点出发，两组对应边的方向都相同或者都相反，这两个角相等。

【05】在图1·93中顶点 Q 处还有两个角，即 ∠EQC 和 ∠DQF，它们是对顶角因而相等，并且都是 ∠DQC 的补角，因此 ∠EQC＋∠DQC＝2d，∠DQF＋∠DQC＝2d  。

【06】但 ∠DQC＝∠BPA（前面已证明），∴ ∠EQC＋∠BPA＝2d，∠DQF＋∠BPA＝2d  。

【07】其中 ∠EQC 的一边 QC 和 ∠BPA 的一边 PA 方向相同，而这两角的另一边 QE 和 PB 的方向相反。

【08】同样也可以说明，∠DQF 和 ∠BPA 的两边中有一边的方向相同，另一边的方向相反。

【09】由此得出：对应边互相平行的两个角，如果从它们的顶点出发，一组对应边的方向相同，而另一组对应边的方向相反，则这两个角的和等于 2d  。

例1.已知 ∠ABC＝45°，过 ∠ABC 内一点 P 作 PE // AB，PF // CB，PH ⊥ AB（图1·94）。求 ∠FPH  。

【解】已知 PE // AB，PF // CB，可知 ∠EPF 和 ∠ABC 的两组对应边平行且方向都相反，则有 ∠EPF＝∠ABC＝45°  。

        又 ∠EPH＋∠PHB＝180°（平行线的同旁内角互补），

        已知 PH ⊥ AB，可知 ∠PHB＝90°，∴ ∠EPH＝180°－∠PHB＝180°－90°＝90°  。

        但是  ∠FPH＝∠EPH－∠EPF，∴ ∠FPH＝90°－45°＝45°  。

答：∠FPH＝45°  。

例2.已知两个角的对应边互相平行，并且这两角的差是 90°，求这两个角各是几度？

【解】本例的两角是互为补角。因为两角的对应边互相平行时，或者两角相等，或者两角互补，如果是相等，则它们的差是 0°，而不是 90°，因此断定是互补的。

        设这两角的度数为 x 和 y，则有 x＋y＝180 (1)；x－y＝90 (2)  。

        我们解这方程组，由 (1)＋(2)，得 2x＝270，∴ x＝135，y＝45  。

答：这两角各为 135° 和45°  。

习题1-13

1、已知两个角的对应边互相平行，并且这两角的差是 50°，求这两个角各是几度？【65°，115°】

2、“如果平面内两个锐角相等，那末它们的对应边互相平行”，你认为这个说法对吗？为什么？【不对】

3、如图，巳知 P 是 ∠AOB 外的一点，以 P 为顶点作角使它和 ∠AOB 互补，并且使角的边分别与 ∠AOB 的边平行。这样的角能作出几个？

4、如果两个角的一组边是同向平行的，另一组边是反向平行的，且知这两角的度数之比是 5:31，求这两角的度数。【25°，155°】