定量问题定性化在高等数学上的应用

01引言

实现定量问题定性化的教学法，有重要的现实意义。因为文科和理工科的难点就是数学问题，数学类课程的应用，本质上都是定量问题定性化的结果。理工科的专业基础课都为数学定量问题定性化后的应用。

02 定量与定性的辩证关系

定量是定性的基础，定性为定量的升华。对定量问题。熟能生巧了以后，借助语言表达抽象出定量问题的定性含义。对定量问题只有定性化后，才能反映出新的本质的物理含义。从而为搭建起定量问题与定性问题的桥梁，实现定量问题的应用奠定基础。

03 定量与定性相结合在高等数学中的应用

极限的数学定义式反映了当函数的自变量发生某种变化时，函数值的变化趋势。用其定义可判定函数在某一点是否连续。也就是当函数自变量趋于某一常数时，如果函数极限值为函数在该点处的函数值，说明函数在该点处连续。函数导数定义式的意义为函数在任意点x处的函数值增量比上自变量增量，当函数的自变量增量趋于零时的极限就是函数在x处的导数。导数反映了函数在某一点变化的瞬时速度。函数的微分反映了当自变量发生微小变化时，函数值发生微小的变化。此外，不定积分为导数的逆运算，也为某函数的所有的原函数。定积分的表达式反映了平面中不规则平面图形的面积。二重积分表示曲顶柱体的体积，其次，一元函数的一阶导数大于零则为增。二阶导数大于零则为凹。级数为无穷项数列的和。其中级数收敛的必要条件为其无穷项为零。幂级数为无穷项幂函数项数列的和。微分方程为含有未知函数的导数的方程。二阶线性常系数微分方程在电子机械等专业表示一系统，函数f（x）为输入函数、未知函数为系统的输出函数等等。可见，高等数学中定量问题的定性含意非常重要，由定量问题的定性含有可以抽象出定量问题的本质规律，从而可以抓重点、抓关键，为定量问题的应用奠定基础。 04 定量问题定性化在高等数学解题上的应用 我们在必修一曾经学过。f（x）等于x加1。它的意义为函数值为自变量加一。这样的含义可推广出。具有相同对应法则的函数表达式中的自变量可以代表一切的广义的自变量。也就是说，任何含有未知数的等式中的x可表示任意的广义的自变量。可以代表任何的单项式和多项式。由此可推广出。函数的极限求导、不定积分等都有中学的解题方法。

每做一道题，将做题过程用语言描述出来。即为同类中所有同类型问题的解决办法。以高等数学下册为例。做题过程可总结如下。求直角坐标系下的二重积分的同类型题的解题方法是，先将底面的每一分块的面积表示为dx.dy，再由中学知识画出积分区域图，由积分区域图写出x和y的取值范围，谁的取值范围固定，先写谁的积分，写成两次定积分，先做后边的积分，求得的函数前移，形成定积分求出结果。与此相类似，极坐标系下二重积分的计算方法是，先将底面的每一分块的面积表示为极坐标系下每一分块的面积，再由中学知识画出积分区域图，由积分区域图写出极径和极角的取值范围，先写极角的积分，在写极径的积分，写成两次定积分，先做极径的积分，求得的函数前移，形成定积分求出结果。幂级数收敛域的求法是，先求第n+1项的系数比上第n项系数的绝对值的极限，再求该极限的倒数即为收敛半径，其次判断当x等于正负收敛半径时级数的敛散性，最后写出收敛域。分离变量微分方程的解法是，先移项将x和y各放在方程两边，两边同时进行求不定积分，求出y或化成最简即可。这一方法都可先通过做书上一道例题，边推导边用语言描述总结出来，这样通过做一道类型题，就可总结出同类型的所有问题的解决办法。不失为数学类课程的学习方法。

05  结论

定量与定性结合的教学和自学方法。在定量的基础上，实现定量到定性的升华。只有洞察出定量问题的定性的物理含意，才能为定量问题的应用奠定基础。