【零基础学经济Ep68】查漏补缺——数学基础（十：史老师视频微分方程）+经济概念梳理

整理史济怀老师视频课中关于常微分方程的内容，然后聊均衡条件的其他表示法。

part 1 史济怀老师视频课微分方程部分

&2.一阶微分方程

一阶微分方程——形如F（x，y，y'）=0的关系式——y为未知函数，x为自变量，含有y的一阶导数的方程。

&2.4可降阶的二阶线性方程

先把之前聊过的内容复习一下——

线性方程——顾名思义，就是里面每一个含未知量x的项都是一次的。

原因在于，F（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的图像是一条直线，顾名思义，线性函数，于是形如0=ax+b就是线性方程了，这也是为什么，在常微分方程课程中，线性代数的内容依然很重要的原因。

非线性方程，往往可以采取局部分析的方法，转化为线性方程，所以线性方程可以说是微分方程的基础内容。

二阶线性微分方程——形如F（x，y，y'，y''）=0的微分方程。

特别的，有两种形式的二阶线性微分方程可以降阶成一阶线性微分方程，今天继续说第二种。

类型二：方程中不显含自变量，即F（y，y'，y''）=0。

解法——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=dp/dx=（dp/dy）（dy/dx）=pdp/dy；

2. 原方程化为F（y，p，pdp/dy）=0。——化为了一个关于y、p的一阶微分方程；

3. 我们解出p，再对p进行积分即可。

例子——解方程y''-e^（2y）=0，yx=0=0，y'x=0=1

解——

1. 令y'=dy/dx=p，所以y''=pdp/dy；

2. 原方程化为pdp/dy-e^（2y）=0；

3. 移项分离变量：pdp=e^（2y）dy；

4. 两边积分：p^2/2=e^（2y）/2+C1；

5. 由初值条件，将x=0代入上式，1/2=1/2+C1，得C1=0；

6. 由4，5得，    p^2=e^（2y），解得p=e^y或p=-e^y；

7. 若p=e^y，即dy/dx=e^y，e^（-y）dy=dx，积分得-e^（-y）=x+C0；

   将初值条件代入上式得，C0 =-1；

   即-e^（-y）=x-1；

8. 若p=-e^y，即dy/dx=-e^y，-e^（-y）dy=dx，积分得e^（-y）=x+C0；

   将初值条件代入上式得，C0 =1；

   即e^（-y）=x+1。

part 2 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——

引入了效用的概念——

效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。

效用的度量——

1. 基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。

2. 序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。

由于在保持效用水平不变即一条无差异曲线给定的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少另一种商品的数量所带来的效用减少量必定是相等的，即有：

|MU1*ΔX1|=|MU2*ΔX2|

上式可以写为：

MRS12=-ΔX2/ΔX1=MU1/MU2

或

MRS12=lim-ΔX2/ΔX1=MU1/MU2，ΔX1趋向于0时

根据以上两个式子，序数效用论关于消费者的均衡条件可以改写为：

MRS12=MU1/MU2=P1/P2

或

MU1/P1=MU2/P2=L

式中，L为货币的边际效用。

今天先到这里！