300小时，美17岁高中生解开困扰数学家27年难题
美国17岁高中生证明数学界27年未解难题 已被麻省理工大学录取
https://news.creaders.net/us/2022/10/16/2536694.html
只因在电视上多看了一眼数学家张益唐的纪录片，美国中学生开始沉迷数论，还独立发表了一篇“博士级别”数学论文。解决的数学问题，还是曾难住3位正经数学家整整27年的那种。
当这3位数学家中的卡尔·波梅兰斯（Carl Pomerance）本人，看到这篇出自17岁少年之手的论文时，也不禁感慨：这是一篇会让任何一位数学家都为之自豪的论文。
At 17 years old, Daniel Larsen built upon the work of leading number theorists to prove a statement about where phony primes appear on the number line. @jordanacep reports: https://t.co/OT3z6KPxzQ
— Quanta Magazine (@QuantaMagazine) October 13, 2022
少年名叫丹尼尔·拉森（Daniel Larsen）。就在今年，他这篇有关卡迈克尔数的论文，已经正式发表在《国际数学研究通告》上，还为他赢得了10万美元（约合人民币72万元）奖学金。他本人也告别高中生活，成为了麻省理工学院数学专业的大一新生。
事实上，丹尼尔本人在家乡早已是小有名气的“神童”：一家子都是数学家，他本人13岁就在《纽约时报》上发表过填字游戏，是这个项目史上最年轻作者。看上去一路顺风顺水，但在与外界交流时，他却说，自己做啥都“像是在挣扎”。还自曝：喜欢走捷径
因张益唐“入坑”数论，屡挫屡战。正如开头所说，丹尼尔和数论的缘分，始于一部有关张益唐的纪录片。
张益唐是传奇美籍华裔数学家，因“孪生素数猜想”一举成名。但在功成名就之前，张益唐的经历可谓半生潦倒：博士毕业后因未拿到导师推荐信，学术道路坎坷，甚至不得不靠快餐店收银员等工作糊口。但即便如此，张益唐也并未放弃对数论的钻研，直到58岁终于大器晚成。
一开始，他同样把目光瞄向了“孪生素数猜想”：张益唐的成果首次证明了存在无穷多对间隔有限的质数，但他证明的间隔是7000万，这个数字仍可以进一步缩小。
陶哲轩和今年的新晋菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德，就都做过这方面的工作。
虽然只是一名中学生，丹尼尔还是试图通过阅读张益唐、陶哲轩和梅纳德在这一问题上发表的论文，搞清楚背后的数学原理。但最终他不得不承认：这对我来说几乎是不可能的。他们的论文太复杂了。
尽管如此，丹尼尔并没有被当场劝退。相反，他一头扎进了数论论文的海洋，坚持寻找能激发他灵感的那一个“巨人的肩膀”。终于在2021年2月，17岁的丹尼尔·拉森和卡迈克尔数邂逅了。
300小时攻克数论难题
卡迈克尔数的定义是：一个正合数n，对于所有跟n互质的整数b，如果b^n-b都是n的倍数，那么n就是一个卡迈克尔数。
根据费马小定理，所有质数都具备这种特质，因此卡迈克尔数又被称为“伪质数”。
在1899年，数学家Alwin Korselt还提出了一种卡迈克尔数的等效定义，当正合数n满足以下三个性质时：（1）必须包含不止一个质因数；（2）质因数均不重复；（3）对于每一个能整除n的质数p，p-1也可以整除n-1。那么它就是一个卡迈克尔数。
举个例子，最小的卡迈克尔数是561，561=3×11×17，而2、10和16均能整除560，所以561是一个卡迈克尔数。
1994年，雷德·阿尔福德（Red Alford）、安德鲁·格兰维尔（Andrew Granville），以及前文提到的卡尔·波梅兰斯三位数学家，在《数学年刊》上发表论文，证明了卡迈克尔数有无穷多个。
三位数学家认为，这个问题可以转化为这样一种证明：给定一个足够大的数字X，在X和2X之间一定存在一个卡迈克尔数。
遗憾的是，从1994年到2021年的27年之间，并没有人完成这个证明。
难度可想而知。因此当丹尼尔的爸爸——印第安纳大学路明顿分校数学教授迈克尔·拉森（Michael Larsen）得知儿子想要攻克这个问题时，他的第一反应是“这可能会变成一段负面经历”。但丹尼尔的反应却是：你的意思是我仍有10%的机会！于是，他坚定地投身其中。并且在约300个小时（12.5天）的努力之后，他的论文出炉了。
前面说到，一开始接触数论，丹尼尔就研究过陶哲轩和梅纳德的论文。而在这个有关卡迈克尔数的证明上，他巧妙地站在了前辈的肩膀上。他修改了梅纳德在证明孪生素数间隔时的用到的方法，将之与阿尔福德、格兰维尔和波梅兰斯的方法相结合。如此一来，就能够确保他最终得到足以产生卡迈克尔数的素数区间。
实际上，这篇论文不仅证明了卡迈克尔数一定会出现在X和2X之间，其证明方法还适用于更小的间隔。
另一位致力于伪质数研究的数学家、沃福德学院的Thomas Wright就表示，“这篇论文改变了研究卡迈克尔数的许多事情”。
值得一提的是，卡迈克尔数与密码学和通信安全息息相关。最典型的非对称加密算法RSA中，生成公钥的第一步就是选取一对很大的随机质数。而当数字比较大时，想要判断其是否为质数就很麻烦，也很容易与其它数字混淆。这时候，卡迈克尔数的相关研究就能派上用场了。
