一个常见积分的小推广

2022-05-22 22:15 作者:艾琳娜的糖果屋 0人读过 | 我要投稿

之前看到过这样的一个问题 $I_%7Bn%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Cfrac%7Bsinnx%7D%7Bsinx%7Ddx%20(n%3D1.2...)$ ，这只需要用后一项与前一项做差，然后再利用和差化积公式就可以解决了答案为 $%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20$ ，下面考虑一个更一般的问题 $I_%7Ba%7D%20%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%20%7D%7B2%7D%20%7D%20%5Cfrac%7Bsinax%7D%7Bsinx%7Ddx%20(a%3E0)$

这里的a为大于0的任意实数，那么刚才的方法就行不通了，下面用留数法来解决这问题，设 $%0Az%3De%5E%7Bix%7D%5Cleft(%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cleqslant%20x%5Cleqslant%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%20%5Cright)%20%0A%0A$ 则有 $%0A%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csin%20x%7D%3D%5Cfrac%7B2iz%7D%7Bz%5E2-1%7D%5C%2C%5C%2C%20%5Csin%20ax%3D%5Cmathrm%7BIm%7D%5Cleft(%20z%5Ea%20%5Cright)%20%3Bdx%3D%5Cfrac%7Bdz%7D%7Biz%7D%0A%0A$

$%0A%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csin%20ax%7D%7B%5Csin%20x%7Ddx%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint_%7B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B%5Csin%20ax%7D%7B%5Csin%20x%7Ddx%7D%3D%5Cmathrm%7BIm%7D%5Cint_L%7B%5Cfrac%7Bz%5Ea%7D%7Bz%5E2-1%7Ddz%7D%0A%0A$ $%0A%0AL%5Ctext%7B%E6%98%AF%E5%8F%B3%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9A%84%E5%8D%8A%E5%9C%86%E5%91%A8%E5%B9%B6%E8%A7%84%E5%AE%9A%E6%B2%BF%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E8%BD%B4%7Dargz%3D0%0A%0A%0A%0A$

由上推导可知当a取奇数积分确实为pi/2，偶数时候依然可以化解成交错和的形式。

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努力凑够200字

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