秘封欺骗名单（1）数理方程杂谈1

 前置知识：高等数学 线性代数 复变函数（工科）

前言：一些数理方程学习中粗浅的杂谈，要求一定的工科数学知识

（1）关于偏微分方程     

        偏微分方程是在学习工程技术以及物理模型中常常见到的一类微分方程。可以说微分方程描述了世界上任何客观存在的现象，因而我们需要学习如何解决偏微分方程。一般来说，偏微分方程是指含有多元未知函数及其偏导数的等式，例如

（是与x,y无关的常数）

也可简记为

        一些含有如梯度算子，散度算子等场微分算子的方程，我们也在更一般的意义上把它们归为偏微分方程。方程中关于未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程的阶，以上给出的均为二阶方程。如果方程中关于未知函数及其偏导数都是一次的，则称其为线性方程。线性方程有很多良好的性质，比如叠加性。如果方程不是线性的，但其最高阶导数仍是一次的，我们称之为拟线性方程。除了线性，拟线性方程以外的方程，统称为非线性方程。

在给出一个偏微分方程时，往往是给出其泛定方程及其边界条件。例如后面我们会讨论的这个方程。

        显然这是一个二阶线性方程，第一个方程是泛定方程，后面给出的均为边界条件，可以看出我们没有对x设置任何的边界条件，也就是说这里的两个边界条件都是对t的假设。这个方程被用来描述一维无界弦的一般振动问题，是弦在t时刻x位置受到的强迫力，和分别是在和在t=0时的边界函数。在解一个偏微分方程时，我们往往要讨论它的边界条件，不同形状的边界条件决定了我们应该怎么去处理这个偏微分方程。我们后面会处理另一个偏微分方程：

        这是一个关于x和t的有界弦的振动方程，思路和我们马上要讨论的无界弦问题完全不同。因此我们在处理边界问题上必须谨慎又谨慎，对边界的处理贯穿了我们学习数理方程的全部过程。

（2）关于积分变换

        在复变函数中我们学了两类积分变换，傅里叶变换和拉普拉斯变换。这两类积分变换利用它们的微分性质，可以把含有两个未知数的偏微分方程变成关于其中一个变量的常微分方程，解出这个常微分方程，再通过逆变换，延迟性质以及位移性质以及卷积定理可以得到偏微分方程的解。

        在解数理方程的过程方法里，分离变量法是非常通用的一种方法，在分离变量的过程中需要解数个常微分方程，积分变换可以很方便地求解出常微分方程的解。特别注意在对常微分方程两侧作拉普拉斯变换时会代入函数的初值条件，因此得到的方程的解无需再次代入常微分方程的边界。

        下面给出几条傅里叶变换常用的性质：

①微分性质：

②卷积性质：

                                           

这里是傅里叶变换的卷积

变换积分的上下限，可以得到类似的拉普拉斯变换的卷积定理

例1，求

解：

这个结果时非常有用的，我们可以看到

,

这个公式把无穷积分变成了有限积分。

（3）一个数理方程的解

        我们来解这个方程。利用微分方程的叠加定理，我们得到以下三个方程：

，分别记作方程（i）,(ii）,(iii),将上述三个方程的解相加就得到了上述总方程的解。

(i)

解：将t看作参数，对泛定方程作Fourier变换，记

,

有

，解得

作Fourier逆变换

,

（ii）

同上，得到方程

,解得  

再由卷积定理

由例1中的结果我们得到

      ②

对比我们刚接触数理方程时行波法可以验证解①②的正确性

（iii）

来看这个方程，作Fourier变换

,对这个方程两边再对t作Laplace变换，有

,，再作Laplace逆变换

,作Fourier逆变换

由

得到原式=    ③

最后将①②③相加得到最终结果

(4)结语

        方程（iii）有一种更为简洁的所谓“冲量法”的解法，但是这个解法涉及到物理的解释，并且其本质也是积分变换，所以笔者在这里用了笔者认为更容易接受的方法。后面还会陆陆续续写一些杂谈，内容主要是数理方程（或者说偏微分方程）。