A-3-1惯性力

2023-08-30 22:37 作者:夏莉家的鲁鲁 0人读过 | 我要投稿

3.1.1 系统牛顿第二定律

对一个多质点系统而言，假设质点总数为n，那么其中每一个质点，都会受到系统内部各个质点的作用力，以及系统外部的作用力，我们用 $%5Cvec%20F_i$ 表示第i个质点所受的外力， $%5Cvec%20F_%7Bij%7D$ 表示第i个质点对第j个质点的作用力，对第i个质点：

$%5Cvec%20F_i%2B%5Csum_%7B%5Csubstack%7B1%5Cle%20j%5Cle%20n%5C%5Cj%5Cne%20i%7D%7D%5Cvec%20F_%7Bji%7D%3Dm_i%5Cvec%20a_i$

两侧求和得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%20m_i%5Cvec%20a_i%5Ctag%7B1%7D$

其中已经利用

$%5Cvec%20F_%7Bij%7D%2B%5Cvec%20F_%7Bji%7D%3D0$

求和结果说明，一个系统所受的外力之和，等于系统中各个物体质量与加速度乘积之和。上式又称为系统牛顿第二定律，利用这一点，我们能够简化一些问题的分析过程。

例1.如图，两滑块A、B通过无弹性细线和轻质定滑轮跨接在置于水平桌面上的双斜面体C上.现观察到滑块A沿斜面向下加速运动，加速度为 $a%3D2m%2Fs%5E2$ ，而双斜面体C保持静止.已知 $m_A%3D4$ 千克， $m_B%3D2$ 千克， $m_C%3D5$ 千克，双斜面体C的两个斜面光洁度不一样，其倾角分别为 $%5Calpha%3D37%C2%B0%EF%BC%8C%5Cbeta%3D53%C2%B0$ ，取 $g%3D9.8m%2Fs%5E2$ 。求双斜面体C所受水平桌面的静摩擦力和支承力。

解：对A、B、C整体受力分析，沿竖直方向和水平方向：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N-(m_A%2Bm_B%2Bm_C)g%3D-m_Aa%5Csin%5Calpha%2Bm_Ba%5Csin%5Cbeta%5C%5C%20f%3Dm_Ba%5Ccos%5Calpha%2Bm_Aa%5Ccos%5Cbeta%20%5Cend%7Bcases%7D$
代入数据得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%3D106N%5C%5C%20f%3D8N%20%5Cend%7Bcases%7D$

上题中地面粗糙，如果地面光滑，我们用下面惯性力的知识会更加简单。

3.1.2 质心系

我们在这里只对质心系做一些简单的介绍。我们之前学习过质心的坐标公式：

$%5Cvec%20r_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20r_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D$

对时间求导，分别得速度和加速度公式：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20v_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D%5C%5C%20%5Cvec%20a_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20a_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

代入(1)得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D(%5Csum%20m_i)%20%5Cvec%20a_c$

即系统所受合外力等于系统总质量乘以质心的加速度。

特殊的，当合外力为0时，质心加速度为0，保持静止或者匀速直线运动。很多光滑水平面上的运动都符合上述条件。

例2.物体系统放在光滑水平桌上，三个立方块质量分别为 $m_1$ 、 $m_2$ 和M .质量 $m_2$ 的立方块被维持在桌上l高处，如果放开系统，那么立方块 $m_2$ 发生运动，并且立方块 $m_1$ 沿立方块M滑动。两立方块之间摩擦因数为 $%5Cmu$ .求当质量 $m_2$ 立方块碰到桌面时立方块M移动多少？

解：由于水平面光滑，质心加速度为零，质心保持静止。由几何关系， $m_1$ 相对M向右运动距离l.质心横坐标变化

$%5CDelta%20x_C%3D%5Cdfrac%7B(M%2Bm_2)x%2Bm_1(x-l)%7D%7Bm_1%2Bm_2%2BM%7D%3D0$
解得

$x%3D%5Cdfrac%7Bm_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%2BM%7Dl$

3.1.3 惯性力

牛顿第二定律并不在所有的参考系中都成立，考虑光滑桌子上的一个静止小球，以桌子为参考系，当桌子开始向前加速时，小球虽然水平合力为零，但还是在相对桌子在向后运动。这显然不满足牛顿运动定律。当参考系具有加速度 $%5Cvec%20a_0$ 时，我们以地面为参考系，得

$%5Cvec%20F%3Dm%5Cvec%20a%3Dm(%5Cvec%20a_0%2B%5Cvec%20a')$

其中 $%5Cvec%20a'$ 是物体在参考系中的加速度，要使得此时牛顿第二定律依然成立，我们将上式变形：

$%5Cvec%20F-m%5Cvec%20a_0%3Dm%5Cvec%20a'$

也就是我们在等式左侧引入了一个新的作用力 $-m%5Cvec%20a_0$ ，只要在受力分析的时候考虑了这个作用力，就可以依然用牛顿第二定律解决问题了。我们将这个引入的作用力称为“惯性力”。

需要注意的是，惯性力是为了满足牛顿第二定律所假想的，实际上并不存在，也没有对应的施力物体。

我们将牛顿第一定律成立的参考系称为惯性参考系，牛顿第一定律不成立的参考系称为非惯性参考系。

例3.如图所示，在地面上有一倾角为 $%5Ctheta$ 、质量为M的斜面体，斜面体上有一质量为m的木块。设地面与斜面体之间以及斜面体与木块之间均光滑无摩擦。试求（1）M相对于地面的加速度 $a_M$ （2）木块m所受的支持力N.

解：设 $a_M$ 水平向右，以M为参考系，m受力分析如图。垂直斜面方向受力平衡：

$N%2Bma_M%5Csin%5Ctheta%3Dmg%5Ccos%5Ctheta$
对M水平受力分析

$N%5Csin%5Ctheta%3DMa_M$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_M%3D%5Cdfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%5C%5C%20N%3D%5Cdfrac%7BMmg%5Ccos%5Ctheta%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$