点差法（二）：本质和局限
最近真的特别忙，今天抽空把这个坑填上。本来是想分开写的，这次一起写完算了。
先把我关于点差法求定点的套路和经验放在最前面：
点差法的目的是将题目给出的条件进行转化；转化的最终形式通常是
，
，或者更复杂的
；
设一条直线，比如y=mx+n，x=my+n，mx+ny=1；与圆锥曲线联立，带入上一步，解出m和n的关系；
使用m和n的关系，确定定点。
至于怎么化简到最终所需要的形式，每道题目都有自己特殊的扭法。先放一道用点差法比较难扭出来的题目作为例题。来自2020新I卷压轴题的简化。
这里不是为了讲最简单的解法。为了突出主题，各种斜率不存在的情况也忽略了。
应用点差法；绿色的部分是设直线联立的中间结果。（这里y1y2的式子，看着就一点都不想写了呢。）
消去k。
这里可以看到，使用点差法可以得到两组坐标关系（1）和（2）。通过韦达定理，带入x1x2, y1y2, x1+x2, y1+y2，确定m和n的关系，（1）和（2）都能分别得到所需的定点（和一个需要舍去的点）。
而且得到（1）根本就不需要点差法。（1）就是题目里的垂直条件。
只不过，问题就是，y1y2的表达式 带进去，计算量会飙上来。可能这个时候就有人会说了，“我背了硬解定理。”那么你开心就好呢。
如果稍微观察一下，y1y2是可以避免的。既然单独用（1）和（2）都能独立得到所需要的答案，如果把两个式子联合使用起来，（2）-（1），减一下，肯定也还是能得到答案的。虽然y1+y2还在，但是比y1y2同时也在要强一点。这也支持了我前面的一个观点，对条件进行转化的时候，扭法很多。
看到这里会有一个感觉，就是这道题目使用点差法并没有那种所期待的砍瓜切菜的快感，因为始终无法把y1和y2全消掉，从而把条件转化为只含x1和x2的形式。这是因为我们使用的定点里的坐标没有0。假如xA是0，那么就很容易消去x1和x2；如果yA是0，就很容易消去y1和y2。比如我们把定点A放在右端点就会有
所以定点如果不在x或者y轴上，点差法基本上不是首选的方法。
下面再带大家扭一道2020年全国一卷的解析几何题。这里的解法不是点差法，也不是我最喜欢的方法。带大家扭的目的，是想用这个例子说明，定点在x轴上，可以把y1和y2消掉。
这里定点A和B都是椭圆端点，在x轴上，根据我上面的暴论，y1和y2可以被消掉，得到一个关于x1和x2的关系式。
扭法反正也不是点差法。总之就是以两个“三点共线”作为出发点，想方设法消去p、y1、y2。
根据湖北省提供的参考答案，条件转化到了 这一步，同时用到了x和y。实际上，是可以化简到
的程度的。
再强调一下结论：
点差法本质上是转化条件，为韦达定理铺路；
定点在点差法里为两个动点搭桥；定点的位置很重要；定点在x或y轴上能够化简运算；
定点不在x或者y轴上，慎用点差法；当然这也不是点差法的锅——无论如何，x1,2 和 y1,2的坐标关系无论如何都会变复杂的；命题人好坏的呢。
