质数计数函数与黎曼 zeta 函数的关系以及其显式形式 [下]

2023-07-19 20:43 作者:nyasyamorina 0人读过 | 我要投稿

(接上篇)

下面引入质数计数函数 π(x) 的大哥 Π(x), 其定义如下:

$%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1n%5Cpi%5Cleft(x%5E%7B1%2Fn%7D%5Cright)%20$

下图是 Π 的 1~100 的图像

根据 Möbius 反演, π 的值可以由 Π 计算出:

$%5Cpi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5CPi%5Cleft(x%5E%7B1%2Fn%7D%5Cright)$

其中 μ 是 Möbius 函数, μ 的定义比较难用式子表达, 这里用文字描述一下: μ(x) 定义域为全体正整数, 考虑 x 的质因素分解 (即把 x 分解为一系列质数的乘积), 当分解出重复的质因数时 μ(x) = 0, 否则 μ(x) = (-1)^k, 其中 k 是质因数的数量, 并且因为 1 没有质因数, 所以 μ(1) = 1. 下图为 μ 的 1~50的图像:

Möbius 反演这里也不介绍了, 感兴趣的可以去找找其他文章, 这里重要的是上面的式子.

另外还有, 直接代入 π 的定义可以得到:

$%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Csum_%7Bp%5Cleq%20x%5E%7B1%2Fn%7D%7D%5Cfrac1n$

交换求和顺序可以得

$%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cleft%5Clfloor%5Clog_px%5Cright%5Crfloor%7D%5Cfrac1n$

其中两个求和可以写在一起, 得到 $%5CPi(x)%3D%5Csum_%7Bp%5En%5Cleq%20x%7D%5Cfrac1n$ . 并且 Π 也存在"圆滑"版本的 Π₀.

Π 与 ζ 的联系

Π 与 ζ 有 $-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5CPi%3D%5Cmathcal%20R(%5Cln%5Ccirc%5Czeta)$ , 证明:

将欧拉乘积形式的 ζ 代入然后 Taylor 展开 (上篇也有相同的步骤) 得

$(%5Cln%5Ccirc%5Czeta)(s)%3D%5Cln%5Czeta(s)%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac1n%5Cleft(p%5En%5Cright)%5E%7B-s%7D$

$%3D%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%20sn%5Cint_%7Bp%5En%7D%5E%5Cinfty%20x%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Csum_p%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cint_%7Bp%5En%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac1nx%5E%7B-s-1%7Ddx$

交换积分求和顺序得

$%3Ds%5Cint_1%5E%5Cinfty%5Csum_%7Bp%5En%5Cleq%20x%7D%5Cfrac1nx%5E%7B-s-1%7Ddx%3Ds%5Cint_0%5E%5Cinfty%5CPi(x)x%5E%7B-s-1%7Ddx%20$

使用 -s 替换 s 得

$%5Cln%5Czeta(-s)%3D-s%5Cint_0%5E%5Cinfty%5CPi(x)x%5E%7Bs-1%7Ddx%3D-s(%5Cmathcal%20M%5CPi)(s)$

证毕.

Π 与 ψ 的联系

现在有两个等式 (R(ln ∘ ζ))' = MDψ 以及 R(ln ∘ ζ) = -I × MΠ, 可以得到

$%5Cmathcal%7BMD%7D%5Cpsi%3D(-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M%5CPi)'$

化简得

$%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi-I%5Ctimes(%5Cmathcal%20M%5CPi)'%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi-I%5Ctimes%5Cmathcal%20M(%5CPi%5Ctimes%5Cln)%3D-%5Cmathcal%20M%5CPi%2B%5Cmathcal%7BMD%7D(%5CPi%5Ctimes%5Cln)$

对上式取 Mellin 逆变换得

$%5Cmathcal%20D%5Cpsi_0%3D-%5CPi_0%2B%5Cmathcal%20D(%5CPi_0%5Ctimes%5Cln)$

Π 的显式形式

Π 的显式形式为

$%5CPi_0(x)%3D%5Cmathrm%7Bli%7D(x)-%5Clog2-%5Csum_%5Crho%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%5Crho)$

其中 li 和 ρ 的定义与上篇的一样. 证明:

因为上面使用的函数算符都是线性的, 并且 li(x) = Li(x¹), 那么对照 ψ₀ 的显式形式可以知道 ψ₀ 和 Π₀ 是逐项对应的, 那么只需要证明 $%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%5Cright%5C%7D%3D-%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%2B%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20$ 就可以了 (差一个常数).

等号左边为 $%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%5Cright%5C%7D%3Dx%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cfrac%7Bx%5E%5Crho%7D%5Crho%3Dx%5E%5Crho$

根据 li 的定义可以知道 $%5Cmathrm%7Bli%7D'(x)%3D%5Cfrac1%7B%5Cln%20x%7D$ , 那么等号右边第二项为

$%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20%3Dx%5Cfrac%20d%7Bdx%7D%5Cleft(%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright)%3Dx%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Crho%20x%5E%7B%5Crho-1%7D%7D%7B%5Cln%20x%5E%5Crho%7D%5Cln%20x%2B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cfrac1x%5Cright)%3D%20x%5E%5Crho%2B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)$

那么 $-%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%2B%5Cmathcal%20D%5Cleft%5C%7B%5Cmathrm%7Bli%7D%5Cleft(x%5E%5Crho%5Cright)%5Cln%20x%5Cright%5C%7D%20%3Dx%5E%5Crho$ , 从而证得逐项对应的. 但是常数项 ln2 还不知道是怎么来的, 貌似是跟不完全 Γ 函数有关, 这里就忽略这个问题罢.

跟 ψ₀ 的显式形式一样, 通过把 ζ 零点求和分为平凡零点和非平凡零点, 并且平凡零点求和可以直接计算得出 (也是不知道计算过程), 得到

$%5CPi(x)%3D%5Cmathrm%7Bli%7D(x)-%5Cln2%2B%5Cint_x%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt(t%5E2-1)%5Cln%20t%7D-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%7B%5Crho_%2B%7D)$

然后就是画图时间, 使用前 100 个非平凡零点的图像:

使用前 25000 个非平凡零点得到的绝对误差:

跟 ψ₀ 不一样的是, 因为 1 是 li 的极点, 所以计算 Π₀ 需要注意在接近 1 时会数值爆炸.

π 的显式形式

实际上根据 Π₀ 的显式形式就已经可以直接求出 π₀ 的显式形式了 (通过 Möbius 反演), 不过大部分情况下会定义一个函数 R

$R(x)%3D%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cmathrm%7Bli%7D(x%5E%7B1%2Fn%7D)$

并且 μ 与 ζ 有关系 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7D%7Bn%5Es%7D%3D%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D$ , 证明: 根据欧拉乘积形式有

$%5Cfrac1%7B%5Czeta(s)%7D%3D%5Cprod_p1-%5Cfrac1%7Bp%5Es%7D%3D1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B5%5Es%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%5Es%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%5Es%7D%2B%5Ccdots$

不难看到乘积展开后会产生一些列的 ±1 / n^s, n 为没有重复质因数的整数, 并且符号取决于质因数的数量, 对比 μ 的定义即可证得.

那么 $%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cln2%3D%5Cfrac%7B%5Cln2%7D%7B%5Czeta(1)%7D%3D0$ , 因为 1 是 ζ 的极点, 所以 1/ζ(1) = 0. 那么综上所述, π₀ 的显式形式可以写为 (这次分开平凡/非平凡零点就不能化简了)

$%5Cpi_0(x)%3DR(x)-%5Csum_%5Crho%20R(x%5E%5Crho)%3DR(x)-%5Csum_%7B%5Crho_%2B%7D%20R(x%5E%7B%5Crho_%2B%7D)%2B%5Csum_%7Bn%5Cgeq1%7D%5Cfrac%7B%5Cmu(n)%7Dn%5Cint_%7Bx%5E%7B1%2Fn%7D%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bdt%7D%7Bt(t%5E2-1)%5Cln%20t%7D$