【银蛇出品】数学漫谈3——用Jordan标准形求任意方阵的n次幂

前置知识：矩阵的基本运算、矩阵的相似对角化、Jordan标准形

        在学习线性代数时，我们学过可相似对角化的n阶方阵幂次的一种求法。设矩阵A为n阶实矩阵，并且可以相似对角化，则存在可逆矩阵P，使得

其中λi(i=1,2,…,n)为矩阵A的特征值。从而

这样计算起来比较容易。而不必傻fufu地一次一次做矩阵乘法。

        可是，并不是所有方阵都能进行相似对角化的。很容易就可以举出一个例子(尽管这个屑例子的n次幂求起来极其容易)：

实际上，n阶方阵可以进行相似对角化的充要条件是：n阶方阵m个互异的特征值的代数重数等于几何重数。特征值λi的代数重数就是特征方程|λEn-A|=0根的λi重数，几何重数就是线性方程组(λiEn-A)x=0解空间的维数。显然上面那个例子不满足这个条件，于是无法作相似对角化，也就无法利用上面的方法求其n次幂了。

        有观众同学可能已经想到了Jordan标准形，这是一种不错的方法。不过，利用Jordan标准型求幂存在一点点困难，因为它不是对角阵，求幂并不容易。不过这种程度对于观众同学而言都是小意思，我们直接看一个简单的例子吧。

        不加证明地指出，对于一切n阶矩阵A，都存在唯一一个相应的Jordan标准形矩阵J，使得

其中T为n阶可逆矩阵。换句话说，矩阵化成Jordan标准形是没有限制条件的。

        再啰嗦一下矩阵A的Jordan标准形J的求法。首先对矩阵(λEn-A)做初等变换，化成Smith标准形(关于λ多项式的对角阵，对角线上元素称为不变因子，后一个不变因子必能整除前一个)，然后写出初等因子(把所有不变因子写成一次多项式幂次的乘积，然后拆成若干个一次多项式的幂)，据初等因子写出Jordan标准形J。

例    求A^n。其中

解    矩阵A做不了相似对角化，但一定可以化成Jordan标准形。

        对矩阵(λE3-A)作初等变换

        求出其初等因子为(λ-1), (λ-2)^2，于是矩阵A的Jordan标准形为

        设T=(X1,X2,X3)，由AT=TJ得

        解得

        于是

        因此

其中求Jordan标准形J的n次幂利用了准对角矩阵n次幂的推论：

显然当其中某一个Jordan块Ji(i=1,2,…,m)阶数k较大时求幂略显复杂：

其中

公式(3)请观众同学自行证明。