阿基米德如何借助杠杆原理确定半球体的重心位置
说到球体的重心，不需要思考，我们也可以知道在球心的位置。可是，如果把球体截掉一半，得到一个半球体，它的重心又在什么位置呢？这就不是一个可以轻松解决的问题了。此时，很多人首先想到的是上高等数学的积分，当然，对于一个现代人来说，这没有问题，让我们先来看看积分法求半球体重心的分析过程（看不懂没关系，马上为您提供古人能看懂的方法）：
可是，对于微积分还没诞生时期的古人来说，又该如何通过数学方法确定半球体的中重心呢？在阿基米德的方法中，他是这样做的。首先要构造出球体和半球体，然后作出半球的内接圆锥体，过轴线作剖面图，截得半圆和等腰直角三角形，接着作垂直于轴线的截面，在半圆和等腰直角三角形中截得两条线段。接下来就是要借助圆的相关知识来对这两条线段之间的比例关系进行论证，其中主要借助了比例论中三个量成比例的首末比性质，再借助等腰直角三角形中的两腰之间等量代换，最终达成轴线与截线之间的比例关系。最关键的还是要把相等关系回归到杠杆中去，所以，在作图时还要把辅助证明的杠杆给做出来，在此命题的作图中，就是延长球体的轴线到与轴线相等为止。作好杠杆示意图后，根据刚才得到的相等比例关系，把等腰直角三角形中的截线段的重心放到杠杆延长部分的端点，再把半圆中的截线段和等腰直角三角形中的截线段共同放在原位置，此时，杠杆的两端会发生平衡状态，这就是比例中的相等关系与杠杆原理的互相转化关系。
在探究出线段之间的相等关系后，就可以把它们转化为截面圆的相等关系，也就是把圆锥体中的截面圆的重心放到杠杆延长后的端点处，再把半球体的截面圆连同圆锥体的截面圆一起放在原位置，它们在杠杆的两端依然保持平衡状态。最后，再把一个个的截面叠加起来，就形成了半球体和圆锥体，此时的相等关系又可以转化为如下平衡关系：重心放在杠杆延伸方向端点的圆锥体与放在原位置的半球体加圆锥体在杠杆两端保持平衡状态。
当然，在数量关系的论证中，阿基米德还把前面的圆锥用两个等体积的圆柱体代替，这种假设为后续的数量关系的论证带来了极大的便利。下面，就请大家到原文的翻译中去领略前人的思维风采吧！
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