2023数分Day66(多元函数微分学与隐函数定理4：隐函数定理)

一、整体感受

（一）

1、很基础，只要根据隐函数存在的唯一性定理即可。

2、定理的条件和结论书写时候的一些细节需要注意；

（二）

1、具体一些题目还会结合Taylor定理的应用，必须熟悉；

2、还会涉及到一些同阶无穷小量的考察等知识点考察

二、需要复习（学习）的

1、（上，p58)同阶无穷小等定义再复习

2、幂级数公式复习【可见之前专栏】

【记诵易错点】：

sinx、arctanx,cosx展成的是（-1）^n,不是（-1）^(n-1)

注意：这一项其实也是第2组对ln(1-x)求导得到的结果！！

得到1/（1-x）=Σx^(n-1) (n从1到+∞）

3、（下，p150+p153）两种隐函数存在的唯一性定理

【第一种】

【第二种】

4、（下，p120+p138）中值定理再复习（补充2道习题的比较来说明，也涉及内点等知识可以复习本专栏二、6）

5、再复习Taylor定理的具体内容，公式细节不要出错。

6、（下，p91+p93）复习内点等知识

三、具体题目

1（中南大学）

第一问：就是第一种隐函数存在的唯一性定理三个条件的验证.

第二问：用上第一种隐函数存在的唯一性定理的结论1和3（y=f(x)在原点某领域可导，这一点书写时注意，不要写错），去判断极值，算y'(0)=0,y"(0)>0,说明是极小值点，而且极值为0（由结论1：y(0)=0得到）

注：求导有个注意点，这里y是关于x的函数，不是常量，所以求导时候特别注意，y'(x)利用到结论3，=-Fx/Fy!!!

第三问：由于二阶导式子右端可以求导，再去求三阶导，为了求y，y用Taylor定理展开；同时对于sinx这一项也使用Taylor展开到三次项，因为分母是三次项。

（好好复习一下三角函数的Taylor展开，具体可回顾之前我做的专栏“体悟常见幂级数展开式的记忆方法”，对于记忆方法可以再次复习，充分利用本题复习）

2（中科大）

思路：求偏微分方程在某一点的取值，关键就是要求出zx和zy，代入，最后把（x0,y0）代入。

具体做法：

①先对方程两边分别关于x,y求偏导，利用φ’>0，约掉它。

②求解出zx和zy

③代入式子，化简；最后把（x0,y0）代入即可。

3（安徽大学）

思路：验证第二种隐函数存在的唯一性定理条件1+2+3，得到结论1(得到唯一性）+3（得到zx,zy）.再去求zxx,zxy,zyy.（这是为了Taylor定理展开需要做的铺垫，需要去求的）最后利用Taylor定理展开到二阶即可。

做法：

①先验证第二种隐函数存在的唯一性定理条件1+2+3

②得到二种隐函数存在的唯一性结论1和3(得到唯一性+得到zx,zy）.

③代入（0，0，0）到zx,zy中，得到zx（0，0）=-2/3,zy(0,0)=0

(注：z(x,y)只有两个变量！！不是三个！！书写时候要注意！）

④同时依据zx和zy的表达式关于x和y继续求偏导，得到zxx,zxy,zyy.再将（0，0，0）代入这三个式子，得到

zxx(0,0)=0,zxy(0,0)=0,zyy(0,0)=-2/3.

⑤写出Taylor定理展开到二阶的公式，再代入上述已经求得的相关内容，得到最后结果。注意o后面的次方要写清楚，不要漏写、也不要错写。

4（西安交大）

第1问：利用单调性，引入新变量t,记g(t)=xt-ln(x+t),t≥0.

于是这个区间上可导，而且一阶导>0，说明g(t)在这个区间单调递增，同时g(0)=-lnx<0,g(1)=x-ln(x+1)>0.利用g(t)在这个区间（0，1）上严格递增，必然有一个y∈（0，1）,而且这个y是唯一的，得以验证唯一确定。

第2问：就是第一种隐函数存在的唯一性定理的三个条件的验证

第3问：利用到同阶无穷小的证明思路，做一个除法去比较，中间过程会利用到题干的条件以及一些等价无穷小的转换，最后化成xy/lnx当x趋于无穷大时的极限。

这里再利用一下迫敛性，1=lnx/lnx<ln(x+y)/lnx<ln(x+1)/lnx,两边极限趋于1，中间那个式子极限就是1，同时利用ln(x+y)=xy（题干条件），便得到最后极限为1，说明是同阶无穷小。

（复习同阶无穷小的相关概念）