高等数学（上）知识点概括第一章
up主初入大学，深知大学学习的不易，所以自己整理了几份资料，分享给大家。这是高数上的，还有线代和工程化学的，但是这三个我都会只放出第一章的内容，剩下的都会放在我的微信公众号：潘一粟的学习笔记 上面，大家可以搜索关注，并回复“高等数学”“线性代数”“工程化学”来获得相应的文章（截止到12.21只更新高数前两章，后面会逐步更新，肯定会在今年之内更新完）
关于映射与函数的概念，高中已有学习，所以这里不再赘述。
这里补充几个高中未涉及的初等函数
正割secx=1/cosx，余割cscx=1/sinx，余切cotx=1/tanx
常用的公式sec²x-tan²x=1
反三角函数arcsinx,arccosx,arctanx
注：sin(arcsinx)= x
双曲函数：双曲正弦shx，双曲余弦chx，双曲正切thx
关系：ch²x-sh²x=1,sh2x=2shxchx,ch2x=ch²x+sh²x
反双曲函数：
arshx=ln(x+√(x²+1))
archx=ln(x+√(x²-1))
arthx=1/2ln(1+x/1-x)
第二节 数列的极限
定义：设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，不等式丨xn-a丨＜ε都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{an}收敛于a
经典题型：证明{xn}收敛于a
经典做法：丨xn-a丨=……=f(n)
任意ε>0,为了使丨xn-a丨＜ε成立，只要f(n)<ε,即n＞f(ε)，取N=[f(ε)]，则当n>N时，成立。
定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一
定理2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么该数列一定有界
定理3（收敛数列的保号性）如果数列收敛于a，且a>0（a<0）,那么存在正整数N，当n>N时，都有xn>0(xn<0)
推论 如果数列从某项起开始≥0（≤0），且数列收敛于a，那么a≥0（a≤0）
定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a
第三节 函数的极限
定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心领域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足不等式0<丨x-x0丨<δ时，对应的函数值都满足不等式丨f(x)-A丨<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限
定义2 设函数f(x)当丨x丨大于某一正数时有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式丨x丨>X时，对应的函数值都满足不等式丨f(x)-A丨<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限
经典例题：证明函数极限
经典做法：和数列极限异曲同工，而且不会考的这么简单，略
定理1（函数极限的唯一性）如果函数极限存在，那么它的极限唯一
定理2（函数的局部有界性）如果函数在x0收敛于A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<丨x-x0丨<δ,有丨f(x)丨≤M
定理3（函数的局部保号性）如果数列收敛于A，且A>0（A<0）,存在正数δ，使得当0<丨x-x0丨<δ时，都有f(x)>0(f(x)<0)
定理3' 如果limf(x)=A(A≠0),那么就存在着x0的某一去心领域，当x属于该去心领域时，就有丨f(x)丨＞丨A丨/2
推论 如果在x0的某去心领域内f(x)≥0(或f(x)≤0)，而且limf(x)=A，那么A≥0（或A≤0）
定理4（函数极限与数列极限的关系）如果函数极限存在，那么相应的数列也收敛于相同值
第四节 无穷小与无穷大
定义1 如果函数趋向于x0或∞的极限为0，那么称函数f(x)为当x趋向于x0或∞时的无穷小
定理1 在自变量的同一变化过程中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小
定义2 设函数f(x)在点x0的某一去心领域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数M（不论它怎么大），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<丨x-x0丨<δ时，对应的函数值都满足不等式丨f(x)丨＞M，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的无穷大
铅直渐近线：垂直于x轴的渐近线
补充：斜直渐近线的算法：k=limf(x)/x,b=lim[f(x)-kx]
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)是无穷大，1/f(x)就是无穷小；反之相同
第五节 极限运算法则
定理1 两个无穷小的和是无穷小
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小
定理3 关于极限的加减乘除，这个大家都很熟悉了，不赘述
推论1 求极限时，常数因子可以提到极限符号外面
推论2 指数也可以提到外面
定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心领域内有定义，若lim(x→x0)g(x)=u0,lim(u→u0)f(u)=A，且存在δ0＞0，当x∈U°(X0,δ0)时，有g(x)≠u0，则lim(x→x0)f[g(x)]=lim(u→u0)f(u)=A
第六节 极限存在准则 两个重要极限
夹逼准则 夹逼准则分为数列部分和函数部分，本质是一样的，即在x0的某个去心邻域，若g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)的极限都相同，那么f(x)也具有极限，且与他们俩个相同，就像两个函数把f(x)夹逼住了一样
准则2 单调有界数列必有极限
重要极限1 lim(x→0)sinx/x=1
重要极限2 lim(x→∞)(1+1/x)^x=e
柯西极限存在准则 数列{an}收敛的充要条件：对任给的ε>0，存在正整数N，使得n,m>N时，有丨an-am丨＜ε
第七节 无穷小的比较
观察limβ/α，如果=0，那么β是α的高阶无穷小；=∞，低阶无穷小；=c≠0，同阶无穷小；=1，等价无穷小，记作α~β
如果limβ/(α^k)=c≠0,k＞0，那么就是k阶无穷小
常用等价无穷小：
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
1-cosx~1/2x²
(1+a)^(1/n)-1~a/n
secx-1~1/2x²
a^x-1~xlna
定理2 可以理解为求极限时可以分子分母可以用等价无穷小来替换，不过这里要注意，必须是乘法形式，比如经典例题lim(tanx-sinx)/x³，如果把tanx和sinx都用x替换，就变成了0，那就不对了。不过这两者可以提出来一个sinx，变成sinx(1/cosx-1)这个sinx就可以换成x了。
第八节 函数的连续性与间断点
定义 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数y=f(x)在点x0连续
有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的
无穷间断点：极限为无穷的
振荡间断点：在去心邻域里变化无限多次的
可去间断点：左极限等于右极限的
跳跃间断点：左极限和右极限都存在，但不相等
第一类间断点：左极限和右极限都存在的，比如可去间断点和跳跃间断点
第二类间断点：无穷间断点和振荡间断点
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理1 若两个函数都连续，则他们的四则运算函数（除法时分母不能等于0）也连续
定理2 若一函数在区间上单调，那么它的反函数也在对应区间单调
定理3 lim f[g(x)]=f [lim g(x)]
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
一切初等函数在其定义区间内都是连续的
第十节 闭区间上连续函数的性质
定理1（有界性与最大最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值
定理2（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），则在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=0
定理3（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的两端分别取到A和B，那么一定能在对应的开区间找到一个值，使f(x0)=C,C在A、B之间
定理4（一致连续性定理）如果函数f(x)在[a,b]上连续，那么它在该区间上一定一致连续
