2022南开大学数学分析III期中考试试题参考思路

本文仅供笔者复习时使用，如有错误，欢迎指正，也欢迎讨论。

        2022年11月4日，这注定是2021级数院同学们难忘的一天，同学们欢声笑语地走入考场，却都无不例外的流着泪走出来，就让我们来看看这份平均分五十多分的试卷到底难在哪。

       1(1)  一上来的第一题就给了满怀信心的同学们当头一棒，这玩意儿很难估计，也不能像那样用和差化积估计。但细心观察，我们能发现相邻两项间有

，这启示我们，再结合分母的发散性可知该级数发散。

        1(2)  是唯一一道纯送，不讲。

        第2题，长的很像课本上的例题，那我们就先使用一些常规操作

         原式= ，我们再观察这个的上界，利用,能得到

原式，令换元，最终我们大概得到阶的估计原式，而另一侧用类似的方法能得到类似的结果，故原式是与同阶的。

        第3题，只要知道Froulanni公式就不难，不知道的情况下想到换元也是比较显然的

        第4题，难算，不写（?

        第5题，我在看到题时立马能想到的有两个思路，一是利用复变的Liouville定理，二是利用调和函数的平均值性质，这都是可行的。利用Liouville定理来证明是很简单的，只需要构造一个复解析函数，然后再套个exp从而将实部与函数的模对应起来。而平均值定理的基本思路是利用，然后我们考虑平面上任意两个点和，其实就是两个圆盘的差，当圆盘的半径很大时，两个圆盘的重合部分占比几乎是100％（因为未重合部分面积S不会大于一个半径为圆环），这样我们。当然，其实使用平均值定理之后，似乎也可以利用调和函数的梯度估计，进而类似复变Liouville定理一样给出u(x)导数为0的证明。

        第6题，把p>1的两分收了就走人（bushi   

        正经做的话是将级数和积分对应起来，考虑 ，这两个鬼东西到底差了多少呢，这就需要我们将在x=n处进行粗略的taylor展开来估计，估计的过程比较复杂，可能一次不行还得估计两次。但有了这个思路之后应该是能自己做出来的（其实就是偷懒不想写了），这10分可谓是来之不易啊。