陶哲轩实分析笔记(3.2和附录A.1)

放弃了打字。。。

笔记1：

这个章节能让你很好的理解为什么要弄那么多折磨人的公理们。一定程度上，这节悖论让人瞥见历史上人类顶尖的智慧是如何活动的。

3.2.1

只需要牢记万有分类(以及前面的许多公理)的内容是，承认某个集合是存在的。而万有分类在其中尤其强大，它说：命题存在，集合就存在。

3.2，构造一个恒为假的命题（比如0=1），然后利用万有分类诞生一个它的集合。而由于不存在x满足这个命题，就可以证明这个集合是空集。

3.3，P(x):x=a。像这样就行了。

3.4，3.5，3.6，3.7。其实就是把原文描述公理的文字写在性质里就成了。

3.2.2

。。这道题让你知道并集公理之下，公理3.3还是有点用的。

以及，为什么要正则公理这么复杂的说法而不是A∉A这种，也许就是因为还有其它种类的嵌套。我们用正则公理就可以像上面一样证明不能那样套娃。正则公理实际是杜绝了嵌套的可能。

3.2.3

这道题告诉我们，只要避免嵌套，罗素悖论就不会存在。

总结一下:目前的集合论涉及的公理是这样的结构:

(基石)公理3.1，基础也边缘的认知。

(基石)公理3.7，是集合得到数，也是数得到集合。

(过去)公理3.8，好用但致命的认知。。漏洞。

(主干)公理3.2，重启的起源。空集是存在的

(主干)公理3.4，利用并集，变得更大！

 (枝干)公理3.3，更多的集合。。部分蕴含于并集

 (枝桠)定义3.1.15。包含关系。

(主干)公理3.6，自由地构造其它集合。

 (枝干)公理3.5，自由构造子集。。蕴含于替代

 (枝桠)定义3.1.25。交集关系。

 (枝桠)定义3.1.27。差集。

在崭新的集合论成熟之后，我们构造出了斩去过去的武器:公理3.9，几乎所有概念都参与到这场狩猎中。

笔记2:

就像陶说的，我并没有做什么记录，因此没有图。（才不是偷懒）

所谓逻辑，其实也只是一种说话方式。它特殊之处，就是我们会相信如果按照这种方式得出的结论都是对的。当然，这也只是我们认为而已，并没有更多特殊的地方了。

有很多逻辑结构，数理逻辑算是最严格的那一类。我们首先讲到命题，然后是讨论了命题真假的情况。就是说，当描述足够清楚的时候，命题要么是真的，要么是假的。

接着是表达式，它是由一些数学对象组合起来的，并且把组合出的数学对象作为自己的值。比如“1+3”，它就是一个表达式。当然我们会习惯的说“1+3=4”，但这并不是表达式，这是个命题。命题由数学对象和关系构成。我们也可以用表达式和各种关系和性质构造命题。

有时候命题会很复杂，我们用逻辑连接词来表述这样复杂的逻辑。下面是偷的网上的逻辑连接词表。

这样，我们要表述命题就会很方便。接着再配合真值表的运用，想判断命题成不成立就很简单了。