题目如下:

思考过程:本题要证f(m)与f(r1)f(r2)...f(rk)不相等.

等式左边是n次,右边是kn次,不齐次,直接比较有困难.

因此考虑找到一个数t,并构造f(x),使得左式与右式模t余数不相等.

直接找t并构造f(x)并不容易,因此先研究简单的情形.

令n取最小值4来进行研究.

对于f(x)=x^4+a2x^2+a1x+a0,我们可以考虑让构造出来的f(x),在x取不同的值时,模t的余数不变.

同时,f(x)需要满足各项系数均为正整数,且最高次项系数为1.

经过一定的探究,可以构造出f(x)=x^2(x^2-1)+4(x+1)(x+2)(x+3)+2.

x^2模4余1或0,因此x^2与(x^2-1)中必有一个被4整除.

令t=4.等式左边模4余2,右边含有2^k这个因子(k>=2),模4余0.①

左右两边模4不相等,左右两边必然不等,因此n=4时命题得证.

接下来考虑n>4时的情形.

模仿n=4时的构造方式,可以构造f(x)=x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1)+2

仍令t=4,仍能得到①,这样这道题就能得到证明了.

下面,给出证明过程:

取f(x)=x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1)+2.

展开后x^(n-2)项系数>-1+4>0,为正整数,易知其余各项系数也为正整数,满足(1).

当m为奇数时,因为m^2模4余1,所以4整除x^2-1.

当m为偶数时,4整除m^2.

所以4整除x^2(x^2-1)(x^(n-4))+4(x+1)(x+2)...(x+n-1).

所以f(m)模4余2.同理,f(r1)模4余2,f(r2)模4余2...f(rk)模4余2

所以f(r1)f(r2)...f(rk)模4余2^k(k>=2)同余到0.

因为f(m)与f(r1)f(r2)...f(rk)模4余数不同.

所以f(m)不等于f(r1)f(r2)...f(rk)对于任意正整数m均成立.满足(2)

命题得证.

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