[原神]圣遗物强化策略——以狗粮限制下的"期望提升率"为优化目标(2)

2023-04-02 10:36 作者:梅贾别再交白卷啦 0人读过 | 我要投稿

二、多角色时的算法及考虑三合一的算法

1.+20圣遗物的价值

设共有人物 $m_%7B1%7D%2Cm_%7B2%7D%2C...%2Cm_%7Bu%7D$ ，权重分别为 $%5Cbeta_%7B1%7D%2C%5Cbeta_%7B2%7D%2C...%2C%5Cbeta_%7Bu%7D$ 。引入权重的意义在于不同人物一词条提升的价值可能不同。举个例子：若以队伍总dps最大化为目标，角色 A、B 都只吃双暴词条，且 A 提升一词条带来的总dps提升为 B 提升一词条的两倍，则可取 $%5Cbeta_%7BA%7D%3D1%2C%5Cbeta_%7BB%7D%3D0.5$ ，并认为双暴词条对 A、B 的权重为1。

对于给定的 +20 圣遗物 $i$ ，一个自然的想法是按单人的情况分别计算圣遗物 $i$ 分给所有人物 $m_%7Bj%7D$ 带来的提升 $val(i%2Cm_%7Bj%7D)$ ，并认为 $i$ 的价值为 $%7BVal%7D(i)%3Dmax_%7Bj%3D1%2C2%2C...%2Cu%7D%5C%7B%7Bval%7D(i%2Cm_%7Bj%7D)%5C%7D$

但实际上，这样的算法并不完善。实际上，若最优分配方案中 $i$ 分给了人物 $m_%7Bj_%7B1%7D%7D$ ，则 $m_%7Bj_%7B1%7D%7D$ 该部位原有的圣遗物就成了闲置散件，可能给其他人带来提升，从而实际提升可能比上述算法算出来的要大。

我们可以定义价值为将 $i$ 纳入圣遗物库后最优配装方案的词条数减去纳入前的词条数。这个定义自然合理，但实际计算却稍显复杂：可以证明，对 $%5Cforall%20%20n%20%5Cgeq%208%20$ ，存在 $n$ 个各自要求四件套的角色及对应的权重、圣遗物配装，使得该条件下存在圣遗物 $i_%7B0%7D$ ，刷到 $i_%7B0%7D$ 后最优配装方案有 $(5n-12)$ 个位置发生了改变。具体换装情况的计算是有难度的，在程序中，作者采取下述算法求近似解：

将每个角色的花位置圣遗物看作节点，若将 $m_%7Bj_%7B1%7D%7D$ 当前的花换给 $m_%7Bj_%7B2%7D%7D$ 可为其带来 $l_%7Bj_%7B1%7D%2Cj_%7B2%7D%7D$ 词条的提升，则添加从 $m_%7Bj_%7B1%7D%7D$ 指向 $m_%7Bj_%7B2%7D%7D$ 的权重为 $l_%7Bj_%7B1%7D%2Cj_%7B2%7D%7D*%20%5Cbeta_%7Bj_%7B2%7D%7D$ 的有向边。定义 $pathl(m_%7Bj%7D)$ 为从 $m_%7Bj%7D$ 出发的最长路径，令 $%5Cbar%7Bval%7D(i%2Cm_%7Bj%7D)%20%3D%20val(i%2Cm_%7Bj%7D)%2Bpathl(m_%7Bj%7D)$

并将圣遗物 $i$ 的价值计算为

$%5Cbar%7BVal%7D(i)%3Dmax_%7Bj%3D1%2C2%2C...%2Cu%7D%5C%7B%5Cbar%7Bval%7D(i%2Cm_%7Bj%7D)%5C%7D$

2.单位置多主词条选项时可行的处理方法

上文中确定 +20 圣遗物价值的算法全都基于主词条相同的大前提。但有些人物的某些位置可以有多个主词条选项，如香菱可能用充能/精通/攻击沙，很多人物可以用暴击/暴伤头等。在这种情况下，能用如下方法调整算法：

以行秋可以用暴击/暴伤头为例，假设现在在用暴击头，添加一个用于计算的“影子”行秋并设定主词条需求为X+X+暴伤。设定“影子”行秋其他部位全为满词条圣遗物并将“影子”行秋打上 tag 使其在计算 $pathl$ 时被忽略。设定“影子”行秋暴伤头的词条数与行秋暴击头的词条数相同。加上“影子”行秋后再对所有人物的组合求解，可以证明这与行秋可用暴击/暴伤头时求出的解等价。

3.考虑三合一时的算法

设刷取的圣遗物本掉落套装为 $a_%7B1%7D%2Ca_%7B2%7D$ ，三合一的目标为圣遗物套装 $a_%7B0%7D$ 。三合一获得一个圣遗物 $i$ 时，相比当作狗粮收益为 $E(w_%7Bi%7D)-2*3780$ ，其中 3780 为五星圣遗物当作狗粮时提供的圣遗物经验数。从而将 +0 圣遗物拿去三合一的临界点为 $G$ 满足对应的 $E(w_%7Bi%7D)%3D7560$ 。具体求解临界值时同上二分法即可。

对 +4 , +8 至 +20 圣遗物拿去三合一的临界点求解方法相同。另外，可以证明 $Eexp$ 仍然关于 $G$ 单调递增，确保了求解的理论可行性。

三、在某些问题上的应用

1.判断胚子是否应该强化

由 $c_%7B0%7D$ 二分求解完对应的 $G_%7B0%7D$ 后，计算与该 $G_%7B0%7D$ 对应的所有 $w_%7Bi%7D$ ，当且仅当 $w_%7Bi%7D%3E0$ 时强化即可。

2.判断毕业标准

可由 $G_%7B0%7D$ 求解执行上述策略时给定人物的提升率，从而为是否应该继续刷某圣遗物本提供参考。

3.判断刷本策略

实际上，一直刷参数 $c_%7B0%7D$ 下提升率最大的本未必是最优策略。可能存在如下情况：设参数 $c_%7B0%7D%3Dx$ 时刷圣遗物本 $a$ 的提升率为 $%5Ctheta_%7Ba%7D(x)$ ，则可能存在 $%5Ctheta_%7Ba_%7B0%7D%7D(c_%7B1%7D)%5Cgeq%20%5Ctheta_%7Ba%7D(c_%7B1%7D)%20%20%5C%3A%2C%5C%3A%20%5Cforall%20a$ 且 $%5Ctheta_%7Ba_%7B0%7D%7D(c)%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta_%7Ba_%7B0%7D%7D(1.5c)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctheta_%7Ba_%7B1%7D%7D(0.5c)$ ，而上述等式右边可以由以一半的概率混合刷 $a_%7B0%7D%2Ca_%7B1%7D$ 本来实现。

一般的，对于给定的人物组合及权重，设 $%5Ctheta_%7Ba%7D$ 图像及其下方组成的区域为 $D_%7Ba%7D$ ， $D%3D%5Ccup%20D_%7Ba%7D$ ，记 $E%3Dconv(D)$ 为 $D$ 的凸包， $P$ 为直线 $x%3Dc_%7B0%7D$ 与 $%5Cpartial%20E$ 的交点，则 $P$ 点代表考虑混合刷本策略后的最优解，并且可以由其反推具体策略。另外，可以证明：必定存在一个仅混合两个圣遗物本与一个三合一目标的策略取到 $P$ 点。