[原神]圣遗物强化策略——以狗粮限制下的"期望提升率"为优化目标

 前言：

       本文灵感来自  bbs.nga.cn/read.php?tid=32686876 ，感谢该文章的作者。

       本文省略了非常多证明过程及文章、求解程序的详细说明，后续会慢慢更新补上。

       求解程序：https://pan.baidu.com/s/1IbU1rPhuSeNbDOGMYIM5TQ , 提取码 b6kb

       由于b站专栏最多插入100张图片，且公式计算在内，所以分两篇发。

            

       本文给出了给定狗粮数量限制下一种求解强化策略的方法，并以此为基础探索了合适的养成标准。

一、单角色的情况

1. 期望提升率

          给定一个角色及各词条对这个角色的权重、该角色现有的圣遗物后，我们定义圣遗物词条数为

                                    

          举个例子： 若大攻击、小攻击、双暴副词条权重分别为 0.8 , 0.3 , 1 , 1 ，现有圣遗物中共    7个大攻击、1个小攻击、5个暴击、10个暴伤    副词条，则当前圣遗物词条数为                                       

   
   

   
   

          若在某圣遗物本刷取一件金圣遗物并按某策略强化后，该角色圣遗物分数变为    ，我们定义   该强化策略下，该角色刷这个圣遗物本   的 期望提升率为

                                    
   

          举个例子：若花羽沙杯四件套均已到理论最大词条，刷到一个头时有  的概率提升 词条 ，  的概率不提升， 则期望提升率为

                                    

                                   (0.002 为刷到头的概率 0.2 乘以 提升概率 0.01)

          
   

   2. 自然策略  

       先看一个例子：

               假设现有圣遗物为

               那么是否应该强化如下胚子呢？

       由上一节中的讨论可知强化胚子1时，有 2/16 的概率获得0.1词条提升。而强化胚子  1的成本为 23435 狗粮，因此，我们不妨先考虑以下问题：

       1词条提升与多少狗粮等价？

       设答案为    ，则由  

                             

       从而可在    时强化胚子1，    时不强化胚子1。

                再考虑胚子2：

                强化后期望提升的词条数为

                                 

                因此由

                                              

                从而可在    时强化胚子2，    时不强化胚子2。

                最后，考虑胚子3：

       选择强化胚子3时，有  1/8  的概率获得与胚子2等价的 4.4词条(+16) 胚子，有  1/8      的概率获得与胚子1等价的 4.3词条(+16) 胚子，剩下  3/4  概率获得无法带来提升的纯狗           粮胚子，因此设能通过强化胚子1、胚子2带来的收益分别为    时，是否该强化胚                 子3只需比较强化的成本    与收益   。

        可解得    的临界值为   ，因此可在    时应强化胚子3，    时不应强化胚子3。

                                

        在上例中，我们由 +20 圣遗物的价值推出了强化 +16 圣遗物获得的价值，再推出了强化 +12 圣遗物获得的价值。用同样的方法，我们可以从所有 +20 圣遗物的价值递推求出强化所有 +16，+12，+8，+4，+0 胚子的价值：

       

        对 非+20 的圣遗物    ，设强化后分别有    的概率变成  ，强化所用的圣遗物经验数为    ，相比纯狗粮，圣遗物    能获得的额外价值为  ，则有如下递推式：

            

       

         当且仅当    时强化    ，则我们由对问题的回答    推出了一个强化策略，我们称这样推出的强化策略为自然策略    。

          

        3.自然策略的合理性

        显然，  越大，采取自然策略    时期望提升率越大。看起来：要使期望提升率最大，取    即可。但这并不现实，因为这意味着有概率带来提升的圣遗物全部会被强化，从而让狗粮不够用。为了定量分析狗粮是否够用及证明自然策略的合理性，我们给出以下定义：

           为所有圣遗物的集合。

        函数    为一个圣遗物强化策略。（  代表强化    ，  代表不强化    ，  代表以    的概率强化    ）

          为强化策略    下，在圣遗物本    刷一个金圣遗物后强化过程需要的圣遗物经验数。

        

        首先，对任意给定的    ，关于    的函数    关于    单增，且值域是有限集     。

        不妨设     ，    

        我们令    为刷到一个金圣遗物平均获得的圣遗物经验数，

          ，  

        则我们可以将问题 “在狗粮限制条件下，求期望提升率最大的强化策略”转化为以下问题：

        求    ， 使  

        可以证明：存在    使

               

        为符合要求的强化策略，下面称其为由    决定的策略    。

        从而我们可以用二分法求解想要的策略。

               

        4.  图像与二分法求解的误差分析

可以证明：

        若按上述方法进行求解，则可诱导双射                                                                                                 

        且有关系式

                         

从而可以证明：

        若通过二分法确定解在区间    内，则取满足    的策略

  时，与理论最优策略提升率差距不超过

  。因此对于任意期望精度，二分求解是可行的。

        实际上，执行策略时只需要将刷到的圣遗物分为三类：一类为    下会强化的圣遗物，二类为非一类但    下会强化的圣遗物，三类为其他圣遗物。直接将其他圣遗物视作狗粮，一类圣遗物按    策略强化。狗粮堆积时再强化二类以消耗狗粮即可，可证明这样的策略与最优策略的提升率差距满足上述条件。

                

       5.递推的初始条件 —— +20圣遗物的价值确定

       如何确定给定 +20 圣遗物的价值？

       在主词条相同的前提下，自然是看刷到该圣遗物后带来了多少副词条的提升。看起来很显然，但仍然需要考虑圣遗物套装的影响：若套装效果不存在，只需要计算比原圣遗物多多少词条即可。但若该人物必须穿绝缘4件套，且当前没有绝缘部位的头，那么其他部位的散件不可能对该人物带来提升。因此，我们需要分别计算每个部位散件、套装圣遗物需多少词条才能带来提升。

        具体地，若当前(4+1)圣遗物总词条为    ，其他4个位置按 3套装+1散件 可以凑出    个词条，4套装可凑出   个词条（凑不齐4件则认为    ），则刷到给定位置    词条套装、散件圣遗物分别能带来   、  词条提升。最后，再将提升词条数乘以    转化为圣遗物经验数。

        2+2 及其他情况可用类似手法分析，这里不再讨论。