【零基础学经济Ep57】查漏补缺——数学基础（十八：同济常微部分）+经济概念日常梳理

今天聊一种比较特殊的变系数微分方程——欧拉方程，然后继续聊效用。

part 1 同济《高等数学》常微分方程部分

变系数微分方程，顾名思义，即是微分方程的系数为变量的微分方程，欧拉方程中的变量系数则是x^k的形式，x^k所在项包含所求函数y的k阶导数。

欧拉方程——形如x^n*y^（n）+……+pn-1x*y'+pny=f（x）的微分方程。——其中y^（n）表示y的n阶导函数。

解法——

1. 令x=e^t，t=ln x；

2. y'=dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt；

3. y"=dy'/dx=1/x^2（d^2y/dt^2-dy/dt）；

4. y"'=dy"/dx=1/x^3（d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2-+2dy/dt）；

5. 令符号D=d/dt，则xy'=Dy，x^2y"=d^2y/dt^2-dy/dt=（d^2/dt^2-d/dt）y=（D^2-D）y=D（D-1）y，x^3y"'=d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2-+2dy/dt=（d^3/dt^3-3d^2/dt^2-+2d/dt）y=（D^2+3D^2+2D）y=D（D-1）（D-2）y，……，x^ky^（k）=D（D-1）……（D-k+1）y；

6. 把上述式子代入欧拉方程中，便得一个以t为自变量的常系数线性微分方程，在求出这个方程的解后，把t换成ln x，即得原方程的解。

下次就差不多可以结束同济书上的常微分方程部分了，之后我们按计划进入，《高等数学导论》的常微分方程部分，那本书上的内容，理论部分会更多一点。

part 2 经济学概念——高鸿业

高鸿业《西方经济学》第三章：效用论——

第一节引入效用的概念——

效用——效用是指对商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时，所感受到的满意程度。——一种主观心理评价。

效用的度量——

1. 基数效用论：边际效用分析方法——“效用单位”：表示效用大小的计量单位。

2. 序数效用论：无差异曲线分析方法——效用不可以具体度量，只能排序。

基数效用论——

边际量——一单位的自变量的变化量所引起的因变量的变化。

边际量公式——边际量=因变量的变化量/自变量的变化量

总效用（total utility）——TU——消费者在一定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。

边际效用（marginal utility）——MU——消费中在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

边际效用函数——MU=ΔTU（Q）/ΔQ——TU（Q）为总效用函数——当ΔQ趋向于0时，MU=lim （ΔTU（Q）/ΔQ）=dTU（Q）/dQ。

关于货币的边际效用——

1. 货币也具有效用，消费者用货币购买商品，就是用货币的效用去交换商品的效用。

2. 商品的边际效用递减规律对于货币也同样使用。

3. 但是在分析消费者行为时，又通常假定货币的边际效用是不变的。

下期继续！