欧多克斯对穷竭法的定义，翻译成数学语言；用穷竭法计算面积
牛顿278、欧多克斯对穷竭法的定义，翻译成数学语言；用穷竭法计算面积
穷竭法（百度百科）：…
…穷、竭（jié）、穷竭，法，穷竭法：见《牛顿245》…
相关研究
…研、究、研究：见《欧几里得42》…
古希腊的安蒂丰（Antiphon 480-403BC）最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。
…安蒂丰：见《牛顿246》…
…面、积、面积：见《牛顿261》…
…思、想、思想：见《欧几里得154》…
后来，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC）改进了安蒂丰的穷竭法。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量。不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。
…数、学、数学：见《欧几里得49》…
（…《欧几里得》：小说名…）
…家：掌握某种专门学识或从事某种专门活动的人：专～。画～。政治～。科学～。艺术～。社会活动～…见《欧几里得92》…
…欧多克斯：见《欧几里得102》…
…定、义、定义：见《欧几里得28》…
…过、程、过程：见《欧几里得194》…
用数学语言描述是：
…描、述、描述：见《伽利略34》…
（…《伽利略》：小说名…）
任意给定两个正的量b<a， 从a 减去λa ，1/2<λ<1，则必可找到一个整数n，使（1-λ）^n·a<b。
…λ：希腊字母表中排序第十一位的字母，大写为Λ，英语名称为Lambda…
古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。
…阿基米德：见《伽利略9~31》…
…应、用、应用：见《欧几里得181》…
…体、积、体积：见《牛顿253》…
阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。
…运、算、运算：见《欧几里得121》…
穷竭法被后人称为阿基米德原理。
…原、理、原理：见《欧几里得41》…
[阿基米德（百度百科）：…
阿基米德的数学思想中蕴涵微积分。
阿基米德的《方法论》中已经“十分接近现代微积分”，这里有对数学上“无穷”的超前研究，贯穿全篇的则是如何将数学模型进行物理上的应用。
…模、型、模型：见《伽利略30》…
…物、理、物理：见《欧几里得139》…
他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到17世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。
…极、限、极限：见《欧几里得178》…
…概、念、概念：见《欧几里得22、23》…
…分、析、分析：见《欧几里得36》…]
例如，计算y=^2与x轴在x=0和x=1之间围成的曲边三角形的面积，把底边[0，1]分成n等分，分点分别是1/n，2/n，…（n-1）/n，然后在每个分点处作底边的垂线，这样曲边三角形被分成了n个窄条。
对每个窄条，近似用矩形条替代。每个矩形的底宽1/n，高（i/n）^2（i=0，1，2，…，n-1），把这些矩形条加起来，得到S的近似Sn：
Sn=0·（1/n）+（1/n）^2·（1/n）+（2/n）^2·（1/n）+…+[（n-1）/n]2·（1/n）
=1/n^3·[n（n+1）（2n+1）/6]=1/6·（1+1/n）（2+1/n）
对每个n，都可以算出相应的Sn的值。
一方面，随着n的增大，Sn的值，越来越接近S。但另一方面，所得的Sn始终都是S的近似值。
为了得到S的精确值，使n无限制的增大。从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形。
…精、确、精确：见《牛顿25》…
…几、何、几何：见《欧几里得28》…
从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S。
这个数等于1/3。
当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果。
用穷竭法计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广。
…计、算、计算：见《欧几里得157》…
…特、殊、特殊：见《伽利略30》…
…一、般、一般：见《欧几里得125》…
…性：1.物质所具有的性能；物质因含有某种成分而产生的性质：黏～。弹～。药～。碱～。油～。2.后缀，加在名词、动词或形容词之后构成抽象名词或属性词，表示事物的某种性质或性能：党～。纪律～。创造～。适应～。优越～。普遍～。先天～。流行～…见《欧几里得10》…
…一般性：见《欧几里得126》…
“16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展。
生产和技术中遇到大量问题，人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破“只研究常量”的传统范围，寻找能描述和研究运动、变化过程的新工具。
请看下集《牛顿279、促进“极限”思维发展、建立微积分的社会背景》”
若不知晓历史，便看不清未来
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