【趣味数学题】指数分布

2021-11-29 10:52 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛（Tao Steven Zheng）著

【问题】

计算以下概率分布函数（probability distribution function，PDF）的平均值（mean）、中值（median）、方差（variance）和标准差（standard deviation）:

$p(x)%20%3D%20%5Clambda%20%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20$

在区间 $x%20%5Cin%20%5B0%2C%5Cinfty)$ 。

【题解】

平均值是概率分布函数的一阶矩（first moment）。

$%5Cmu%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%20%5Ccdot%20p(x)%20dx$

$%5Cmu%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Clambda%20x%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20dx%20$

使用部分积分，得

$%5Cmu%20%3D%20%5Clim_%7Bb%20%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cleft%5B-%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cleft(x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D%5Cright)%20%5CBiggr%7C_0%5Eb%5Cright%5D%20$

$%5Cmu%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Clambda%7D$

(2) 中值

要计算中值，首先求得累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）。

$%20P(x)%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bx%7D%20%5Clambda%20e%5E%7B-%5Clambda%20t%7Ddt$

$P(x)%20%3D%20-%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20t%7D%20%20%5CBig%7C_0%5Ex$

$P(x)%20%3D%201%20-%20e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20$

中位数位于概率等于50%的位置，因此

$P(x)%20%3D%201%20-%20e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%3D%200.5$

$e%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%3D%200.5%20$

$x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cln(0.5)%7D%7B-%5Clambda%7D%20$

$x%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cln(2)%7D%7B%5Clambda%7D%20$

(3) 方差

方差的计算方法是从二阶矩（second moment）减去平均值的平方。

$Var(X)%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5E2%20%5Ccdot%20p(x)%20dx%20-%20%7B%5Cmu%7D%5E2$

$Var(X)%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Clambda%20x%5E2%20%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20dx%20-%20%7B%5Cmu%7D%5E2$

使用两次部分积分，得

$%20Var(X)%20%3D%20%5Clim_%7Bb%20%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cleft%5B-%7Be%7D%5E%7B-%5Clambda%20x%7D%20%5Cleft(x%5E2%2B%5Cfrac%7B2x%7D%7B%5Clambda%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%7B%5Clambda%7D%5E2%7D%5Cright)%20%5CBiggr%7C_0%5Eb%5Cright%5D%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%7B%5Clambda%7D%5E2%7D$