【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep68】实数完备性第四波定理互推(下)
我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界。
我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”:单调有界数列必收敛。
我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”:
闭区间套的无限序列——In=[an,bn],n为正整数,满足:I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……;
lim(bn-an)=0,n趋向于无穷大时——
则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。
我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”——
条件:对于任意小数ε>0,存在自然数N,当n>N且n'>N时,有|xn-xn'|<ε;
结论:数列{xn}有极限x,即对于任意小数ε'>0,存在自然数N',当n>N'时,有|xn-x|<ε'。
我们在Ep67从“确界原理”推导“柯西准则”,今天来反过来,从“柯西准则”推导出“确界原理”。
已知:非空有上(下)界数集E(E')。
求证:该数集必有上(下)确界。
工具:柯西收敛原理——柯西列必收敛。
分析:E为有限数集的情况确界原理成立是显然的,我们只讨论E是无限数集的情况。
证明(以有上界数集E为例)——
step1:用已知数集构造一个柯西列——
已知数集E有上界b,即对于数集E中任意元素e,e<=b;
取E中元素a,令a1=a,b1=b,得到第一个闭区间[a1,b1];
将[a1,b1]等分成两个闭区间,[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]——
如果(a1+b1)/2是E的上界,那么令a2=a1,b2=(a1+b1)/2,
如果(a1+b1)/2不是E的上界,那么令a2=(a1+b1)/2,b2=b1,
得到第二个闭区间[a2,b2];
依次重复上述步骤……
将[ak,bk]等分成两个闭区间,[ak,(ak+bk)/2]和[(ak+bk)/2,bk]——
如果(ak+bk)/2是E的上界,那么令ak+1=ak,bk+1=(ak+bk)/2,
如果(ak+bk)/2不是E的上界,那么令ak+1=(ak+bk)/2,bk+1=bk,
得到第k+1个闭区间[ak+1,bk+1];
……
由此得到两个数列{an}和{bn};
由数列的构造可知,若对于任意小数ε>0,存在自然数N,当n>N且n'>N时,有|an-an'|<=|an-bn|=(b-a)/2^(n-1)<ε,即对于任意小数ε>0,存在N=log2 [(b-a)/ε]+2可使得,当n>N且n'>N时,有|an-an'|<ε;
由此得{an}为柯西列,有极限x,即对于任意小数ε'>0,存在自然数N',当n>N'时,有|an-x|<ε'。
step2:证明x为E的上确界——
(反证法)如果E中存在元素e0>x,由于对于E中任意元素e,任意n都有bn>=e,所以对于任意n有,bn>=e0>x,则对于任意n,存在ε0>0,使得bn-x=ε0,而对于ε0,存在自然数N,当n>N时,有bn-an=(b-a)/2^(n-1)<ε0,即,存在自然数N,当n>N时,an>x,即an-x=ε1>0,与x是{an}极限矛盾,故对于E中任意元素e,有x>=e,即x是E的上界;
(反证法)如果存在ε1>0,使得对于E中任意元素e,都有x-ε1>=e,则x-ε1也是E的上界,即x-e>=ε1>0,对ε1>0,存在自然数N,当n>N时,有x-an<ε1,即当n>N时,有e<an,则an此时为E的上界,与an不是E的上界矛盾,所以,对于任意小数ε>0,存在E中元素e',使得x-ε<e'。
今天就到这里!