【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep68】实数完备性第四波定理互推（下）

我们在Ep21聊了“实数完备性”的第一个定理——“确界原理”：非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

我们在Ep49介绍了“实数完备性”的第二个定理——“单调有界原理”：单调有界数列必收敛。

我们在Ep61介绍了“实数完备性”的第三个定理——“闭区间套定理”：

1. 闭区间套的无限序列——In=[an，bn]，n为正整数，满足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趋向于无穷大时——

则这些区间的公共部分为唯一的一点/一个数。

我们在Ep66介绍了“实数完备性”的第四个定理——“柯西准则”——

条件：对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|xn-xn'|<ε；

结论：数列{xn}有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|xn-x|<ε'。

我们在Ep67从“确界原理”推导“柯西准则”，今天来反过来，从“柯西准则”推导出“确界原理”。

已知：非空有上（下）界数集E（E'）。

求证：该数集必有上（下）确界。

工具：柯西收敛原理——柯西列必收敛。

分析：E为有限数集的情况确界原理成立是显然的，我们只讨论E是无限数集的情况。

证明（以有上界数集E为例）——

step1：用已知数集构造一个柯西列——

1. 已知数集E有上界b，即对于数集E中任意元素e，e<=b；

2. 取E中元素a，令a1=a，b1=b，得到第一个闭区间[a1，b1]；

3. 将[a1，b1]等分成两个闭区间，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——

   如果（a1+b1）/2是E的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果（a1+b1）/2不是E的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二个闭区间[a2，b2]；

4. 依次重复上述步骤……

5. 将[ak，bk]等分成两个闭区间，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果（ak+bk）/2是E的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果（ak+bk）/2不是E的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1个闭区间[ak+1，bk+1]；

6. ……

7. 由此得到两个数列{an}和{bn}；

8. 由数列的构造可知，若对于任意小数ε>0，存在自然数N，当n>N且n'>N时，有|an-an'|<=|an-bn|=（b-a）/2^（n-1）<ε，即对于任意小数ε>0，存在N=log2 [（b-a）/ε]+2可使得，当n>N且n'>N时，有|an-an'|<ε；

9. 由此得{an}为柯西列，有极限x，即对于任意小数ε'>0，存在自然数N'，当n>N'时，有|an-x|<ε'。

step2：证明x为E的上确界——

1. （反证法）如果E中存在元素e0>x，由于对于E中任意元素e，任意n都有bn>=e，所以对于任意n有，bn>=e0>x，则对于任意n，存在ε0>0，使得bn-x=ε0，而对于ε0，存在自然数N，当n>N时，有bn-an=（b-a）/2^（n-1）<ε0，即，存在自然数N，当n>N时，an>x，即an-x=ε1>0，与x是{an}极限矛盾，故对于E中任意元素e，有x>=e，即x是E的上界；

2. （反证法）如果存在ε1>0，使得对于E中任意元素e，都有x-ε1>=e，则x-ε1也是E的上界，即x-e>=ε1>0，对ε1>0，存在自然数N，当n>N时，有x-an<ε1，即当n>N时，有e<an，则an此时为E的上界，与an不是E的上界矛盾，所以，对于任意小数ε>0，存在E中元素e'，使得x-ε<e'。

今天就到这里！