很水的数学分析018：数列的上极限和下极限

鉴于上次此节评论被吞，故写在“我的笔记”上

#复习（数列的上极限和下极限）

1.数列上/下极限第一定义的合理性。Bolzano-Weierstrass定理确保E非空（+∞，-∞算极限点），确界原理确保非空集合一定有上/下确界。

2.上节课已说明，无上界的数列的不一定趋于+∞，但上极限一定是+∞

3.命题3.16

①意思：第一节课（dedekind分割）就说明了，一般的集合不一定有最大/小值（即使有界），但极限点组成的集合E一定包含最大/小值（上/下极限）

②证明（以上极限为例）（虽然没有“开区间套”的说法，但我将此证法命名为开区间套方便记忆）

先设a是上极限（即E的上确界），则存在a的邻域开区间包含极限点（上确界性质的应用），然后用开区间性质（某点在开区间内，则它必有一个邻域也在开区间内），之后再利用极限点的性质（极限点的任一去心邻域内都有无穷多项），也就是说此开区间内有无穷多项，从中取出一项。重复操作（因为是无穷多项，所以可取出an的子列）

4.证明数列有极限只需下极限≥上极限

5.上/下极限的第二定义。【重头戏】

（同样的思路在正项级数判断敛散时屡次用到，比较判别法（包括Cauchy根值判别法）、比值判别法（以D'Alembert判别法为代表））

极限点L是上极限的【必要条件】是L+ε（∀ε＞0）右侧只有有限项。（“L右侧只有有限项”结论过强，非必要条件）

6.上下极限的保序性