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1．近年来难度最高的题目

2．用「简化模型」破解「概率难题」

由于「概率题」的「反直觉」特性，所以我们要尽量通过「建立模型」的方法解析难度较高的题目。需要知道，公考不会考察的特别深，因此即使是难题，在简化后也会很容易理解。

一、近年来难度最高的题目

【2021年3月联考】某公司职员小王要乘坐公司班车上班，班车到站点的时间为上午7点到8点之间，班车接人后立刻开走；小王到站点的时间为上午6点半至7点半之间。

假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

假设班车和小王到站的概率是相等（均匀分布）的，那么小王能够坐上班车的概率为：
（A）1/8
（B）3/4
（C）1/2
（D）7/8

正确率9%，易错项BC

本题难度之高，世所罕见。9%的正确率几乎通杀了所有考生。因此，想要研究好「概率题」，这道题是绕不开的。

列出题干数据关系：
①班车7点~8点到车站
②小王6点半~7点半到车站
③求小王坐上车的概率

可以看出，本题的题干极为简单，但很多小伙伴无法理解在概率「均匀分布」的前提下如何找到解题思路。

目前，主流公考培训机构给出的解题思路是「直角坐标系」法。这种方法没有任何问题，但仅限于熟悉「直角坐标系」运用的考生。

直接画坐标分析，如图：

图中的大正方形就是「小王所有的到达时间」和「班车所有的到达时间」的总面积（即概率之和为1），可发现：

斜线左上侧「白三角形面积」=小王没有赶上班车的情况=1/8个正方形
斜线右下「阴影三角形面积」=小王赶上班车的情况=7/8个正方形

因此小王能够坐上班车的概率为7/8，D「7/8」正确。

如果不会「直角坐标系」的小伙伴，这道题是否就做不出来了呢？当然不是的，因为我们可以建立一个简单的「模型」。

二、用「简化模型」破解「概率难题」

根据「班车7点~8点到」和「小王6点半~7点半到」可知小王大概率能坐上车，因此我们可以分析「小王坐不上车的概率」，用1减去该概率即可。

首先分析班车的情况，可知：

班车7:30-8:00到，小王不可能迟到
班车7:00-7:30到，小王可能迟到

因此从班车的角度分析，只有在1/2的时间内，小王才可能迟到。

同样分析小王的情况，可知：

小王6:30-7:00到，小王不可能迟到
小王7:00-7:30到，小王可能迟到

因此从小王的角度分析，只有1/2的时间内，小王才可能迟到。

所以，假设在「7:00-7:30」的区间内，小王必定迟到，那整体迟到几率也只有1/2×1/2=1/4。当然，小王不是必定迟到的，继续分析：

在「7:00-7:30」区间，小王和班车在任何时间到达车站的概率都是「均匀分布」的，那么小王迟到的概率是多少呢？

这里有个简单的方法，因为「小王」「班车」都是在同一段时间「均匀分布」的，因此「小王比班车来的早」的概率和「小王比班车来的晚」的概率完全相同，都为1/2。

如果觉得上面的方法太抽象，我们可以再建立一个简单的模型来理解。

假设「小王到达的时间」和「班车到达的时间」都用数值来表示，则：

「小王＜班车」→小王比班车来得早
「小王＞班车」→小王比班车来得晚
「小王=班车」→删掉该情况

之所以「小王=班车」时要删掉该情况，是因为在原题中长达30分钟的时间内「均匀分布」，双方「同时到达」的概率可以忽略不计，所以在模型中我们就要删掉。

如果只有「1，2」两个数值，则：

小王比班车来得早有1种情况：

小王1，班车2

小王比班车来得晚有1种情况：

小王2，班车1

同样，如果有「1，2，3」三个数值，则：

小王比班车来得早有2种情况：

小王1，班车2
小王1，班车3
小王2，班车3

小王比班车来得晚有2种情况：

小王2，班车1
小王3，班车1
小王3，班车2

据此进一步推论，可发现无论有多少个数值，「小王比班车来得早」和「小王比班车来得晚」的出现次数都是相同的，即都是「1/2」。

因此：

小王赶不上班车的概率=
「小王7点至7点半到车站的概率」×「班车在7点至7点半到车站的概率」×「在这个时间段小王赶不上班车的概率」
=1/2×1/2×1/2
=1/8

即「小王赶上班车的概率」=1-1/8=7/8，D选项正确。

总结：

「概率」的出题方式千变万化，从强化武器能否用「垫子」，到「主持人换门」后能否选到汽车，再到「小王整体的迟到概率」，看上去让人目不暇接，但其核心始终没变，无非就是「掷硬币」和「掷骰子」。

由于「概率」题可以很容易出得「反直觉」，所以近年来的「数量关系」板块基本上每套都有那么一两道和「概率」有关的超级难题，甚至还有很多低于25%的——也就是说，如果考生感觉某道求概率的题特别难，那随便蒙个选项，可能就比浪费大量时间来解题的其他考生正确率更高……

从这道正确率只有9%的题目可以看出，难题不一定计算量大——只要解题思路找不到，再简单的条件也做不对。而通过这道题我们也可以看出，「简化模型」是多么重要。

回过头来看，这道题简化后的模型无非就是「3次掷硬币」，即小王、班车都尽量往「小王迟到」的可能性去靠，三次都掷出「迟到面」才符合要求。

第一次掷硬币：小王的「迟到区间」

小王前半小时到站，必不迟到；后半小时到站，可能迟到。所以小王位于「迟到区间」的概率是1/2。

第二次掷硬币：班车的「迟到区间」

同理，班车后半小时到站，则小王必不迟到；前半小时到站，则小王可能迟到。所以班车位于小王「迟到区间」的概率是1/2。

第三次掷硬币：在「迟到区间」迟到的概率

在「迟到区间」，小王和班车任何时候到站的概率都相同。此时我们无论是根据「小王不迟到概率=迟到概率」还是建立简单模型推理，都可确定小王在「迟到区间」迟到的概率是1/2。

因此「小王总的迟到概率」就相当于三次掷硬币都掷出了「让小王迟到」这一面，即1/2×1/2×1/2=1/8，因此「不迟到」的概率就是1-1/8=7/8了。