Dr.Dave的硬核台球-A.4 任意切角，速度和旋转母球撞击后运动轨迹
我又回来了！
TP A.4 给出了任意切角速度和旋转母球在撞击后运动轨迹，也是我认为所有证明中比较重要的一部分。TP A.4 证明了带有旋转的母球的运动形式（抛物线+直线，虽然在国内的理解一般说成弧线），是后面Dr.Dave的30度角法则的基础。TP A.4也说明了一个问题，就是某些时候我们需要低杆小力击打才能快速的让母球表现出低杆的效果（见本文后半部分内容）。
顺便安利一个公式识别工具 Mathpix。
TP A.4 Post-impact cue ball trajectory for any cut angle, speed, and spin
任意切角，速度和旋转母球撞击后运动轨迹
原文链接： https://billiards.colostate.edu/technical_proofs/new/TP_A-4.pdf
母球（撞击后）的平动方程为：
(1)
其中， 是按曲线轨迹运动期间台尼和母球间的摩擦力，
是母球球心的速度；
母球（撞击后）的转动方程为：
(2)
其中，是是围绕母球球心的摩擦力力矩；
是母球的角速度；
母球和台尼的接触点（记为C）的速度为：
(3)
注意，z轴自旋（，由加塞产生）对接触点速度没有影响，因此不会影响接下来的分析。
关于滚动和后面的无滑滚动，可以参考这篇文章https://zhuanlan.zhihu.com/p/503560876
摩擦力（）与滑动相反，方向与相对滑移速度方向相反：
(4)
摩擦力矩可以表示为：
(5)
取式（3）左侧的时间导数，将线加速度和角加速度联系起来：
（6）
将式（4）带入式（1），可以得到母球的（线）加速度：
(7)
将式（5）带入式（2），可以得到母球的角加速度：
（8）
因此，式（6） 的最后一项可以写成：
(9)
将 式（7）式（9）带入式（6），有：
（10）
根据式（10）， 有如下推论：
相对速度矢量以及相应的摩擦力矢量（见式4），不会改变方向！！！相对滑动速度降低到0后保持为0（即母球在某一点开始滚动而不滑动，并继续沿直线（无滑）滚动。此外，根据式（4）和（7），摩擦力矢量和母球加速度是恒定的（在大小和方向上）。因此，母球轨迹是抛物线形的，就像任何恒加速度运动一样（例如，抛射运动）。
由式（10），易知相对速率按下式变化：
(11)
因此，相对速率可由下式计算：
(12)
其中， 是初始相对速率（即母球撞击的瞬间）。至此，不同时刻的相对速度矢量已知：
(13)
如果指定了初始母球线速度和角速度（母球撞击的瞬间），则式（3）可表示为：
(14)
初始相对速度大小（即速率）为：
（15）
初始相对速度的方向（保持不变）为：
（16）
将式（16）带入式（7），母球加速度为：
（17）
上式的解为：
（18）
该式只适用于母球滑动时。当滑动停止时，母球沿着与该点轨迹相切的直线移动。母球从滑动到（滑动）消失的耗时可由式（12）求得：
（19）
因此，母球路径仅在以下时间内为曲线（从母球撞击的瞬间记）
（20）
母球路径的最终偏转角度可由式（20）给出的时刻对应的轨迹斜率计算。根据式（16）和（18），利用式（20），母球速度的最终分量为：
（21）
以及
（22）
因此，母球角度的最终偏转为：
（23）
最终球速度（式21和22）也可由向量形式表示：
(24)
其中是撞击后的初始速度，
是初始角速度。有趣的是，最终速度并不取决于摩擦力
。最终速度的5/7（71.4%）来自切线方向上的初始速度矢量（
），2/7（28.6%）来自初始自旋速度矢量（
）。向量
是从静止点一直向上到球的中心（即
，将其与上面的向量
联系起来）。
对式（18）进行积分，可以求得母球轨迹的x和y坐标：
（25）
（26）
易见，母球轨迹是一条抛物线（也可参见式10后面的论述）。式（25）和（26）仅适用于式（20）给出的时间段内。
给定y方向上的初始母球速率（），并忽略母球和目标球之间的摩擦（仅在本proof中），撞击后母球速度和速度分量为（更多细节请参见下图和TP 3.1）：
（27）
（28）
（29）
如果我们假设母球没有y轴旋转（即，这意味着这次击球只有前旋，无旋和后旋三种可能的状态），则式（15）（利用式28和29）简化为：
（30）
其中是母球绕x轴的初始旋转。根据式（14），
（31）
（32）
根据式（23），
（33）
将式（28）到（32）带入式（25）和（26），母球轨迹变为：
（34）
（35）
从式（20）和（30）可知，式（34）和（35）只适用于从0时刻到如下时刻
（36）
如果母球在物体球碰撞时滚动而不滑动（即碰撞前就进入了无滑滚动状态），则：
（37）
那么式（33）简化为：
（38）
这与1987年Wallace和Schroeder论文的著名结果一致，该论文是30度角法则的基础（见TP 3.3）。
同样，对于滚动母球，式（24）（利用式27和37）变为：
（39）
其中是切线方向，
是滚动母球的初始方向（即瞄准线）。下图为该结论和相似三角形的一个应用。最终的（母）球方向是切线和瞄准线之间距离的2/7，需垂直于切线（即平行于撞击线）测量。对于任何切度和速度的滚动母球来说，这个结果都是正确的。
在鲍勃·杰维特2008年7月的《台球文摘》文章中，他展示了如何使用球杆来帮助预测滚动母球击球的最终母球方向。如果你将球杆（长度为“”）垂直于切线（即平行于冲击线），球杆的一端在瞄准线上，另一端在切线上，那么母球的最终方向将在距离切线沿球杆的2/7点处（
处）。
现在，尽管击球速度不会影响母球的最终方向，但它确实会影响通往最终方向的路径，因此在预测母球的行进方向时也需要考虑到这一点（参见下文和Dr.Dave在2005年6月的《台球文摘》文章）
（我没怎么打过九球，但是Dr.Dave的视频和证明中看到了很多关于自然滚动状态下母球运动路径的判断方法，常打九球的朋友可以告知，是否九球中常常用到推杆）
现在我们来看看各种类型击球的运动轨迹。式（34）和（35）描述了前旋、斯登和后旋击球的通用轨迹，仅在式（36）给出的时间内适用。以下是方程中使用的参数以及MathCAD形式的结果：
下面是Dr.Dave给出的不同击球方式母球撞球后的运动轨迹
注：所有参数均以公制（SI）当量值表示，用于无量纲分析。
球的属性：
母球和台尼之间的摩擦系数：
， 几个参考文献的近似值（也有我自己的实验支持）
重力：
母球开始滚动（停止滑动）所需的时间：
，式（36）
母球开始延直线滚动时的速度分量：
， 式（21）和（28）
， 式（22）和（29）
母球的最终偏转角度：
，式（23），（28）和（29）
曲线运动时母球的x位置：
，式（34）
曲线运动及后续的母球的x位置：
曲线运动时母球的y位置：
，式35
曲线运动及后续的母球的y位置：
下图中使用的参数：
, 模拟时长
, 绘图间隔
， 对应了1/2 球的切角
， 转换为m/s的平均速度（单位：mph）
， 滚动（转动）速度
， 母球偏转角度
切线方程式：
球的方程式（按比例）
带自然滚动的不同前旋击球：
从慢速到非常快速的不同速度（以英里/小时为单位，转换为m/s）：
带反向滚动（相对于自然滚动）的各种后旋击球：
各种较慢速度的自然滚动前旋击球：
