数学物理方法公式（12）：Generalized Laguerre Polynomial

2023-03-22 21:18 作者:打电动的阿伟嘻嘻嘻 0人读过 | 我要投稿

考虑Laplace方程在球坐标系下的径向解：我们通过薛定谔方程展开

$%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdr%7D(r%5E2%5Cfrac%7BdR%7D%7Bdr%7D)%2B%5C%7B%5Cfrac%7B2%5Cmu%20r%5E2%7D%7B%5Chbar%5E2%7D%5BE-V(r)%5D%5C%7D%3Dl(l%2B1)%2Cn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%5E%7B%2B%7D%7D%2Cl%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn-1%3BE%3E0.$

取以下形式 $a%3D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E2%7D%7B%5Cmu%20e%5E2%7D%2C%5C%20V(r)%3D-%5Cfrac%7BZe%5E2%7D%7Br%7D.$

其解为

$R_%7Bnl%7D(r)%3D%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7D)%5E3%5Cfrac%7B(n-l-1)!%7D%7B2n(n%2Bl)!%7D%7De%5E%7B-%5Cfrac%7BZ%7D%7Ban%7Dr%7D(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7Dr)%5E%7Bl%7DL%5E%7B2l%2B1%7D_%7Bn-l-1%7D(%5Cfrac%7B2Z%7D%7Ban%7Dr)%2C$

其中 $L%5Em_n(x)%3D%5Csum%5En_%7Bk%3D0%7D(-1)%5Ek%5Cfrac%7B(m%2Bn)!%7D%7Bk!(n-k)!(m%2Bk)!%7Dx%5Ek$ 称为m阶n度 Generalized Laguerre Polynomial. 径向解的前几项为

$R_%7B10%7D(r)%3D(%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba%7D)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D2e%5E%7B-%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba%7Dr%7D%2C$

$R_%7B20%7D(r)%3D(%5Cfrac%7BZ%7D%7B2a%7D)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D(2-%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba%7Dr)e%5E%7B-%5Cfrac%7BZ%7D%7B2a%7Dr%7D%2C$

$R_%7B21%7D(r)%3D(%5Cfrac%7BZ%7D%7B2a%7D)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%5Cfrac%7BZ%7D%7Ba%5Csqrt%7B3%7D%7Dre%5E%7B-%5Cfrac%7BZ%7D%7B2a%7Dr%7D.$

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