一道不定积分题的两种解法，供诸君参考
原视频参考:
法一:
令A=∫sinx/(csinx+dcosx)dx
B=∫cosx/(csinx+dcosx)dx
则原不定积分=aA+bB
(即需求不定积分A、B)
M=cA+dB=∫(csinx+dcosx)/(csinx+dcosx)dx
=∫1dx=x
N=-dA+cB
=∫(-dsinx+ccosx)/(csinx+dcosx)dx
=∫1/(csinx+dcosx)d(csinx+dcosx)
=ln|csinx+dcosx|
即cA+dB=M,-dA+cB=N
视A,B为未知数，解二元一次方程组得:
A=(cM-dN)/(c²+d²),B=(dM+cN)/(c²+d²)
故原不定积分=aA+bB
=(acM-adN+bdM+bcN)/(c²+d²)
=(ac+bd)M/(c²+d²)+(bc-ad)N/(c²+d²)
=(ac+bd)/(c²+d²)*x+(bc-ad)/(c²+d²)*ln|csinx+dcosx|
法二:换元为有理式+裂项
原式=a/c∫(csinx+(bc/a)cosx)/(csinx+dcosx)dx
其中,分子=csinx+dcosx+(bc/a-d)cosx
分离常数得
=a/c∫1+(bc/a-d)cosx/(csinx+dcosx)dx
=a/c[x+(bc-ad)/c*∫cosx/(csinx+dcosx)]dx
即需求M=∫cosx/(csinx+dcosx)]dx
分子分母同除cosx得
M=∫1/(ctanx+d)dx
令tanx=t
则M=∫1/(ct+d)d(arctant)
=∫1/(ct+d)*1/(1+t²)dt
裂项(详细步骤在文章尾端备注)得
M=∫[(c²/(c²+d²))/(ct+d)+(-c/(c²+d²)t+d/(c²+d²))/(1+t²)]dt
=c/(c²+d²)∫c/(ct+d)dt-c/2(c²+d²)∫2t/(1+t²)dt+d/(c²+d²)∫1/(1+t²)dt
=c/(c²+d²)∫1/(ct+d)d(ct+d)-c/2(c²+d²)∫1/(1+t²)d(t²+1)+d/(c²+d²)∫1/(1+t²)dt
=c/(c²+d²)ln|ct+d|-c/2(c²+d²)ln(1+t²)+d/(c²+d²)arctant
t=tanx代回得
M=c/(c²+d²)ln|ctanx+d|-c/2(c²+d²)ln(1+tan²x)+d/(c²+d²)x
其中,1+tan²x=1/cos²x=(cosx)^(-2)
∴M=c/(c²+d²)ln|ctanx+d|+c/(c²+d²)ln|cosx|+d/(c²+d²)x
=c/(c²+d²)ln|(ctanx+d)cosx|+d/(c²+d²)x
∴原式=a/cx+(bc-ad)/c*M
=a/cx+(bc-ad)/(c²+d²)ln|csinx+dcosx|+d(bc-ad)/c(c²+d²)x
=[a/c+(bcd-ad²)/c(c²+d²)]x+(bc-ad)/(c²+d²)ln|csinx+dcosx|
其中，x前系数化简
(ac²+ad²)/c(c²+d²)+(bcd-ad²)/c(c²+d²)
=(ac²+bcd)/c(c²+d²)
=(ac+bd)/(c²+d²)
原式=(ac+bd)/(c²+d²)x+(bc-ad)/(c²+d²)ln|csinx+dcosx|
ps:其中裂项步骤中待定系数过程如下
设1/(ct+d)*1/(1+t²)=m/(ct+d)+(kt+b)/(1+t²)
(目的:使前项为一次分式函数，可凑微分d(ct+d)；后者可进一步裂项为kt/(1+t²)与b/(1+t²)，分别为凑微分d(1+t²)与积出arctant)
将右式展开，分子为
m(1+t²)+(ct+d)(kt+b)
=(m+ck)t²+(bc+kd)t+m+bd
对应系数相等，即
m+ck=0,bc+kd=0,m+bd=1
联立解以m,k,b为未知数的三元一次方程组得:
m=c²/(c²+d²),k=-c/(c²+d²),b=d/(c²+d²)
